Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

Женя вымотает волаМозг откопает льваШурик шепнет ЛенеВошь кушает желеЛюба зацелует ГошуФома бреет мимаВек убивает голосЕнот доче́ртит пробуВова поедет в рощуТоля шьет миныОвод налегает на редькуПапка наложит сажиПаша́ лишает верыНамир дает мыло

Чтобы лучше запомнить эти фразы, Браун использовал мнемотехнику чертогов разума (memory palace), представляя себя бродящим по коридорам собственной школы и заглядывающим в разные кабинеты, в каждом из которых сидело по несколько субъектов, совершающих те странные действия, что были описаны в предложениях. Он придумал 272 ассоциации и «разбросал» их по 60 разным местам. На формулировку «запоминалок» и их заучивание ушло четыре месяца. На чтение «зашифрованных» цифр наизусть – 73 минуты.

Давайте закончим эту главу гимном числу π. Я взял на себя смелость немного дополнить пародию Ларри Лессера под названием «π по-американски». Только имейте в виду, что песенку эту получится спеть всего лишь раз, ведь цифры π по кругу не повторяются.

Давно это было, очень давно,Когда с математики хотелось сбежать в кино,Каждое число, что мне тогда встречалось,Либо кончалось, либо повторялось.Но разве нет такого, чтоб не завершалось?Чтобы развивалось, в бесконечность упиралось?И сказал мне учитель: «Знаешь что, дружок?Найди-ка мне площадь – вот тебе кружок!»Но что бы я ни делал,Не мог найти я дробь.И с каждым днем прошедшимСильнее была скорбь.Но вот настал тот славный день,Когда пришел я к «пи».О «пи», о «пи»! О славное мое «пи»!«Двадцать два делить на семь» – хороший вариант,Простая дробь почти всегда – надежнейший гарант.Но дроби десятичные останутся всегда!С дробями десятичными беда нам – не беда!О «пи», о «пи»! О славное мое «пи»!Три-четырнадцать-пятнадцать-девять-два-шесть-пять-три-пять –Эти цифры никогда я не устану повторять!

Глава номер девять

Магия тригонометрии

Высшая точка тригонометрии

Основная задача тригонометрии – решать задачи, которые нельзя решить методами классической геометрии. Вот, смотрите сами.

Вопрос: Как измерить высоту горы, если в нашем распоряжении только транспортир и калькулятор?

Сделать это можно пятью разными способами. Причем первые три из них не имеют вообще никакого отношения к математике!

Способ 1 (или метод решения «в лоб»): Заберитесь на вершину горы и сбросьте с нее калькулятор. (Это потребует определенных усилий). Засеките время, за которое он долетит до земли (или дождитесь вопля восходителя внизу). Если у вас получилось t секунд, то, проигнорировав эффекты сопротивления воздуха и скорости падения, вы определите, что высота горы составляет примерно 4,9t² метров (полистайте учебник физики, если не верите). Недостатки этого метода очевидны: и сопротивление воздуха, и скорость падения – показатели достаточно важные и могут сильно сказаться на результате. А еще вы останетесь без калькулятора и, возможно, и без встроенного в него секундомера, который необходим для измерения времени падения. Но есть и преимущества: транспортир останется в целости и сохранности, ведь в этом эксперименте он вам вообще не нужен.

Способ 2 (или метод загорелых альпинистов): Подойдите к смотрительнице местных красот (желательно симпатичной и дружелюбно настроенной) и предложите ей свой новенький блестящий транспортир в обмен на информацию о высоте горы. Если смотрительниц поблизости не наблюдается, найдите самого загорелого альпиниста (чем сильнее загар, тем больше времени он проводит на вершине и, следовательно, может знать ответ на ваш вопрос). Основное преимущество этого метода – у вас появится новый друг и калькулятор будет цел). Если ответ альпиниста вызовет у вас сомнения, всегда можно забраться на вершину и прибегнуть к способу № 1. Недостатки – у вас могут конфисковать транспортир и обвинить в попытке дать взятку должностному лицу.

Способ 3 (метод указателей): Перед тем как применять способы 1 или 2, поищите внизу табличку, на которой будет указана высота горы. Несомненное преимущество данного метода заключается в том, что вам не придется жертвовать своим оборудованием.

Если же ни один из этих вариантов вас не устраивает, придется поискать более математические методы, о которых и пойдет речь в этой главе.

Тригонометрия и треугольники

Слово «тригонометрия» состоит из двух греческих корней: trigon и metria, сочетание которых буквально означает «измерение треугольника».

Равнобедренный прямоугольный треугольник. Как следует из названия, один из его углов равен 90°, а два других равны между собой, то есть по 45° (не забыли, что сумма углов треугольника равна 180°?). Если предположить, что длина каждого катета составляет 1, то, согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы будет равна √(1² + 1²) = √2. И, кстати, такое же соотношение сторон – 1: 1: √2, – будет у каждого равнобедренного прямоугольного треугольника (посмотрите на рисунок).

Треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину, а все углы – по 60°. Если мы разделим такой треугольник на две конгруэнтные части (как показано ниже), у нас получатся два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Если длины всех сторон изначального треугольника равны 2, будут равны и 2 гипотенузы каждой из его прямоугольных половинок. Длины меньших катетов при этом составят 1, а бо́льших, как следует из теоремы Пифагора, – √(2² + 1²) = √3. Эта пропорция – 1: √3: 2 – также будет справедлива и в отношении любого треугольника с углами в 30°, 60° и 90° (это просто, как 1, 2, √3). В частности, при гипотенузе длиной 1 длины катетов составят 1/2 и √3/2.

Отступление

Единство (a, b, c), в котором a, b и c суть положительные целые величины, а a² + b² = c², называют Пифагоровой тройкой. Самая простая из таких троек (и наименьшая по значению величин) – (3, 4, 5). Общее же их количество неограниченно: просто увеличиваем треугольник сначала до (6, 8, 10), затем до (9, 12, 15) и т. д., до скольки угодно, хоть до (300, 400, 500). Но есть куда более интересный и остроумный способ создания таких троек. Возьмите два любых положительных числа m и n, где m > n. Допустим, что