Читать книгу "Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер"

— Завтра дракон Тиамат раскроет свою ужасную пасть и поглотит солнце, окружив его чернотой. Померкнет небо, и наступит сумрак. Все вокруг потемнеет. Но мы усердно молились богам, и они уговорят дракона освободить и вернуть солнце. Возносите же хвалы богам и приносите им щедрые жертвы!

На следующий день жители Вавилона были встревожены настолько, что побросали свои привычные занятия и, забыв покой, жадно смотрели в небо. Действительно, в какой-то момент солнце померкло, как и предсказывал жрец, а через несколько минут светило вырвалось из мрачной тени. Своим точным предсказанием жрец обеспечил безбедную жизнь себе, своим детям, внукам и правнукам. Отныне ни один вавилонянин не посмеет оспаривать авторитет жреца.

В действительности же за этим предсказанием не стояло ничего иного, кроме умения оперировать большими числами.

Согласно легенде, Фалес заблаговременно предсказал солнечное затмение 28 мая 585 г. до н. э. Однако в отличие от жрецов Вавилона Фалес не стал апеллировать к суеверию толпы, а объявил о том, что своим знанием он обязан умению работать с большими числами. За магической историей о драконе Тиамат стояли холодные, бесстрастные числа. Мало того, большие числа, недоступные большей части безграмотного населения.

Число и письмо

Умение оперировать числами было в древние времена вратами, ведущими к богатой и беззаботной жизни. Важный шаг в этом направлении сделали древнеегипетские землемеры. Они умели оперировать с числами, большими дюжины и доходившими до нескольких сотен. Нужно было уметь считать в таких пределах для того, чтобы нарезать крестьянам участки полей определенной длины и ширины. Кроме того, счета в этих пределах хватало для того, чтобы подсчитывать число мешков зерна, поставленных крестьянами. Считали также число запряженных быками телег, доставлявших урожай в житницы. Однако высших ступеней богатства и влияния достигал тот чиновник или писец Древнего Египта, который умел оперировать числами, превосходившими несколько сотен или даже тысячу. Такой чиновник мог рассчитывать на место при дворе верховного владыки — фараона.

Счисление у египтян, а также у представителей других ранних высоких культур — вавилонян, майя, китайцев — заканчивалось, как правило, числами порядка пары тысяч. В те времена чиновники и торговцы в своих повседневных делах — в отличие от чиновников и торговцев современности — не задумывались о миллионных суммах. Когда же возникала необходимость иметь дело с бешеными — в полном смысле этого слова — деньгами, счетоводы соединяли определенные множества в новые единицы. Мы поступаем точно так же и сегодня, когда считаем дюжинами, выражаем большие расстояния в километрах, а не в метрах, а большие массы измеряем не граммами, а тоннами.

Цифры, использовавшиеся для записи чисел в древних культурах, не предназначались для представления чисел, превышающих пару тысяч. Лишь в довольно редких случаях люди изобретали символы для по-настоящему больших чисел, но считали их настолько громадными, что лишь дивились им, не предпринимая попыток разумно ими оперировать. Такие величины считали просто числами, поражающими воображение и превосходящими всякие человеческие представления. Полагали, что операции с такими числами доступны только божествам.

Сегодня эти древние цифры известны лишь специалистам по истории древних восточных культур и по истории Античности. Лишь очень немногие знают, что древние греки для представления чисел пользовались буквами своего алфавита. Первая буква А, альфа, соответствовала единице, вторая буква В, бета, двойке, третья буква Г, гамма, тройке, и так далее до буквы I, йота, которая соответствовала числу 10. Затем греки считали десятки, используя следующие буквы — К, каппу, Λ, лямбду, М, мю, — которые соответствовали 20, 30, 40. Сочетание ΛВ обозначало число 32, а записывая КГ, имели в виду 23. Оставшиеся буквы алфавита обозначали сотни: Р, ро, служила символом 100, Σ, сигма, обозначала 200, Т, тау, — 300, и так далее. Имея в алфавите 24 буквы и еще три дополнительных знака (буквы еще более древнего греческого алфавита), древние греки могли записывать все числа, необходимые им в повседневной жизни.

Всем известно, как записывали числа древние римляне. Мы и сегодня, например гуляя с детьми по городу, показываем им написанные римскими цифрами на памятниках даты и расшифровываем их. Римские цифры тоже имеют своим источником буквы — естественно, латинского алфавита. Правда, язык древнеримских чисел более понятен и логичен, чем язык чисел греческих. I — это не просто буква, это одна черта, обозначающая единицу. Согласно такой символике следующие числа — 2, 3 и 4 — обозначались таким образом: II, III и IIII. V — это тоже не просто буква, которая, между прочим, в Древнем Риме обозначала, кроме того, и звук U, а символ, обозначающий кисть руки с пятью пальцами. Из двух таких «кистей», одной перевернутой и второй — направленной вверх, то есть из двух букв V, составили символ числа 10 — X.

В Средние века на наших европейских просторах все числа всегда записывали римскими цифрами. Если один горожанин занимал у другого некую сумму денег, то заимодавец вырезал на дощечке число одолженных гульденов. Такую дощечку называли биркой. Бывало, что заимодавец обманывал должника, меняя запись на бирке. Например, должник клялся, что занимал всего пять гульденов, а заимодавец показывал судье бирку, на которой красовался X. На деле он просто продолжал линии цифры V вниз, в результате получалось новое, большее, число. В некоторых местностях Германии до сих пор бытует поговорка — «выдать U за X».

Римское обозначение сотни — C, это первая буква латинского слова centum , обозначающего «сто». Если же отделить верхнюю часть буквы С и оставить только ее нижнюю часть, то есть нижнюю половину, то получится знак, напоминающий латинскую букву L, которой стали обозначать половину ста — пятьдесят. Римская цифра M обозначает тысячу, ибо M — это первая буква латинского слова mille — «тысяча». Однако в ранний период римской истории римляне обозначали звук «м» греческой буквой Ф (фи). Для записи этой буквы римляне ставили букву C, непосредственно за ней I, а затем зеркальное отражение C, то есть Ͻ. Если объединить все эти символы, то получится СIϽ, то есть стилизованное М. Если разрубить этот символ пополам вертикальной чертой, то получится символ IϽ, напоминающий букву D. Поэтому число пятьсот римляне обозначали буквой D.

Впрочем, эти римские цифры общеизвестны. Но как римляне считали числа, большие 4999, которое записывалось весьма замысловато, а именно: MMMMDCCCCLXXXXVIIII? (Более короткая, упрощенная запись этого числа, в которой вместо IIII записывали IV, вместо VIIII–IX, вместо XXXX–XL, вместо LXXXX–XC, вместо CCCC–CD, вместо DCCCC–CM, а все число 4999 выглядело как MMMMCMXCIX — тоже достаточно громоздко, — прижилась позднее.) Каким образом мог римский министр финансов записывать суммы в десятки и сотни тысяч сестерциев?

Одно из решений заключалось в многократном написании цифры C в том виде, в каком она применялась для обозначения 500 и 1000: число 500 обозначали символом IϽ, а символами IϽϽ и IϽϽϽ — пять тысяч и пятьдесят тысяч соответственно. Если число 1000 обозначается символом CIϽ, то 10 000 и 100 000 — символами CCIϽϽ и CCCIϽϽϽ соответственно.