Читать книгу "Ноль. Биография опасной идеи - Чарльз Сейфе"

Пари Паскаля было в точности сходно с этой игрой, за тем исключением, что конверты были другими: христианство и атеизм. (На самом деле Паскаль проанализировал только случай христианства, но случай атеизма был его логическим продолжением.) Допустим на мгновение, что шанс существования Бога — 50 на 50. (Паскаль полагал, что это, конечно, христианский Бог.)

Выбор конверта «Христианство» эквивалентен преданности христианской вере. Если вы выбираете этот путь, имеются две возможности: если вы верующий христианин, а Бога нет, вы просто превращаетесь в ничто после смерти; если же Бог есть, вы отправляетесь на небеса и счастливо живете вечно. Таким образом, ожидаемая цена преданности христианству — 1/2 шанса превратиться в ничто плюс 1/2 шанса попасть на небеса: 1/2 × 0 + 1/2 × ∞ = ∞. Так каково же ожидание? В конце концов, половина бесконечности — все равно бесконечность. Таким образом, цена преданности христианству бесконечна. А что случится, если вы — атеист? Если вы правы, и Бога нет, вы ничего не выигрываете. В конце концов, раз нет Бога, то нет и небес. Однако если вы ошибаетесь, и Бог есть, вы навечно отправляетесь в ад: перед вами отрицательная бесконечность. Таким образом, ожидаемая цена атеистических взглядов такова: 1/2 шанса превратиться в ничто плюс 1/2 шанса отправиться в ад — 1/2 × 0 + 1/2 × –∞ = –∞ Каково же ожидание? Отрицательная бесконечность. Хуже ничего не придумаешь. Разумный человек, несомненно, выберет христианство, а не атеизм. Однако мы сделали допущение: 50 на 50, что Бог существует. Что же будет, если шанс окажется 1 на 1000? Цена преданности христианству составит 999/1000 шанса превратиться в ничто плюс 1/1000 шанса попасть на небеса: 999/1000 . . . . .× 0 + 1/1000 × ∞ = 0 + 1/1000∞ = 1/1000∞ . Каково ожидание? Оно то же самое: бесконечность; для атеиста оно тоже отрицательная бесконечность. Все же гораздо лучше быть христианином. Если бы вероятность составляла 1/10000 . . . . . или 1/1 000 000 , результат был бы тем же. Если нет ни одного шанса, что Бог существует, пари Паскаля — каким оно нам известно — теряет смысл. Ожидаемая цена приверженности христианству составила бы 0 × ∞, а это тарабарщина. Никто не был готов утверждать, что шанс существования Бога равен нолю. Каковы бы ни были ваши взгляды, всегда лучше верить в Бога благодаря магии ноля и бесконечности. Паскаль наверняка знал, как заключать пари, хоть и отказался от математики, чтобы выиграть.

Глава 5

Бесконечные ноли и неверующие математики

Ноль и научная революция

Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение… Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат всегда получался правильный.

Фридрих Энгельс. «Анти-Дюринг»[24]

Ноль и бесконечность разрушили аристотелевскую философию, вакуум и бесконечный космос избавили Вселенную от скорлупы и от идеи о том, что природа не терпит пустоты. Древняя мудрость была отброшена, и ученые начали открывать законы, управляющие природными явлениями. Однако перед научной революцией стояла проблема ноля.

В глубине могучего нового инструмента научного мира — дифференциального и интегрального исчисления — таился парадокс. Изобретатели исчисления, Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, создали мощнейший математический метод благодаря делению на ноль и сложению бесконечного числа нолей. Оба действия были столь же нелогичны, как сложение 1 и 1, чтобы получить 3. Дифференциальное и интегральное исчисление в своих основах отрицали математическую логику. Их принятие было актом веры. Ученые совершили этот прыжок, поскольку дифференциальное и интегральное исчисление есть язык природы. Чтобы в совершенстве понимать этот язык, наука должна была победить бесконечные ноли.

Бесконечные ноли

Когда после тысячелетнего оцепенения европейская мысль стряхнула усыпляющее влияние, с толь мастерски насаждавшееся отцами Церкви, вопрос о бесконечности стал одним из первых, на которые вновь было обращено внимание.

Тобиас Данциг. «Числа — язык науки»

Проклятие Зенона висело над математикой два тысячелетия. Казалось, что Ахиллес обречен вечно преследовать черепаху, никогда ее не догоняя. В простой загадке Зенона скрывалась бесконечность. Греки были остановлены бесчисленными шагами Ахиллеса. Им не приходило в голову сложить вместе бесконечные части, хотя величина шагов Ахиллеса приближалась к нолю. Греки едва ли могли сложить шаги нулевой величины, не имея понятия ноля. Впрочем, когда Запад принял ноль, математики начали приручать бесконечность и закончили гонку Ахиллеса.

Несмотря на то, что последовательность Зенона имеет бесчисленные члены, мы можем сложить их и все же остаться в области конечных чисел: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 +… = 2. Первым человеком, проделавшим такой трюк — сложение бесконечного числа членов для получения конечного результата, — был британский логик XIV века Ричард Суисет. Он взял последовательность 1/2 , 2/4 , 3/8 , 4/16 , …, n/2n, сложил ее члены и получил 2. В конце концов числа, составлявшие последовательность, все больше и больше приближались к нолю; по наивности можно было бы предположить, что это обеспечит конечность их суммы. Увы, бесконечность вовсе не так проста.

Примерно в то же время, когда Суисет получит свой результат, Николя Оресм, французский математик, попробовал сложить другую бесконечную последовательность чисел — так называемую гармоническую серию: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … Как и в случаях последовательностей Зенона и Суисета, все члены данной последовательности все больше и больше приближаются к нолю. Тем не менее когда Оресм попытался сложить их, он обнаружил, что сумма становится все больше и больше. Несмотря на то, что отдельные члены последовательности стремятся к нолю, сумма делается бесконечно большой. Оресм показал это, сгруппировав члены: 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +… Первый член новой последовательности очевидно равен 1/2 ; второй больше 1/2 , так как больше, чем (1/4 + 1/4); третий тоже больше 1/2 , так как больше, чем (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)… и так далее. Вы продолжаете складывать 1/2, 1/2, 1/2… и сумма становится все больше и больше — до бесконечности. Хотя члены последовательности стремятся к нолю, они стремятся недостаточно быстро. Сумма бесконечной последовательности может быть бесконечно большой, даже если ее члены стремятся к нолю. Однако это еще не самое странное свойство бесконечно большой суммы. Ноль сам не застрахован от странной природы бесконечности.