Читать книгу "Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер"

При всей своей простоте расчет все же представляется несколько эфемерным.

Первый вопрос: откуда мог Эратосфен знать, что солнечные лучи в Александрии и Сиене идут параллельно друг другу? Они не могут быть строго параллельными, потому что Солнце находится не на бесконечном расстоянии от Земли. Но даже во времена Эратосфена ученые были убеждены в том, что это расстояние огромно — настолько огромно, что его лучи можно было без колебаний считать параллельными.

Второй вопрос: действительно ли Сиена находится точно на юге от Александрии? Ответ отрицательный. Сиена находится на несколько градусов восточнее Александрии. Следовательно, Эратосфен на деле получил несколько большую величину, чем 40 тысяч километров, но ошибка составила не больше 1–2 процентов.

Третий вопрос: каким образом Эратосфен мог вычислить длину окружности Земли в километрах? Естественно, Эратосфен этого сделать не мог, так как ему была неизвестна такая единица длины, как километр. В своих расчетах Эратосфен пользовался стадиями. Действительно, надо честно признать, никто в современном мире не знает точно, в каком соотношении находятся современный километр и античный стадий. Но зато мы доподлинно знаем, что Эратосфен умножил на 50 расстояние от Александрии до Сиены, а это самое главное в его расчетах.

Глядя на современную карту, любой человек может быстро удостовериться в том, что Сиена, на месте которой находится современный Асуан, находится не точно на северном тропике. В полдень 21 июня Солнце там не находится в зените. Но и здесь ошибка так мала, что она не могла повлиять на принципиальную верность расчетов Эратосфена, и ею в данном случае тоже можно пренебречь.

Рис. 2. Принцип измерения размеров Земли, использованный Эратосфеном: 21 июня каждого года, в полдень, Солнце освещает воду сиенского колодца. Если солнечный луч продолжить в глубь Земли, то он пройдет через ее центр. Луч света в Александрии, расположенной севернее Сиены, если его продолжить кверху, в направлении неба, упирается не в зенит, так как вертикально стоящий столп отбрасывает на землю тень под углом 7,2 градуса. Эти 7,2 градуса соответствуют длине дуги, соединяющей Александрию с Сиеной. Длина этой дуги равна 800 километрам. Это расстояние составляет ровно одну пятидесятую часть окружности Земли

Если известна длина экватора, охватывающего земной шар, то с помощью выведенной Архимедом формулы можно вычислить площадь поверхности Земли. К тому времени эта формула была уже известна. Архимед не только был современником Эратосфена; они были знакомы лично. Результат вычисления: площадь поверхности Земли равна приблизительно 510 миллионам квадратных километров. Не более одного процента из них приходится на современный Европейский союз, но и империя Александра Македонского, и Римская империя не дотягивали даже до двух процентов!

Разумеется, этот результат неприятно удивил владык и царей и после Эратосфена нашлись другие геометры, попытавшиеся заново измерить величину Земли. Уже тогда процветал феномен, хорошо известный и нам, современным людям: как только представляется политическая возможность, множество приспособленцев и лизоблюдов из числа интеллектуалов и специалистов начинают смотреть в рот властителям, стараясь по губам читать их сокровенные желания. Словно по мановению волшебной палочки, Земля внезапно уменьшилась в размерах. Ко времени императора Траяна окружность Земли по экватору составляла уже всего 27 тысяч километров — согласно расчетам авторитетных геометров того времени. Таким образом, площадь поверхности Земли, которая по расчетам Эратосфена составляла 510 миллионов квадратных километров, съежилась до 230 миллионов квадратных километров. Мировые империи стали больше соответствовать такому названию.

Еще Христофор Колумб мог исходить из допущения о том, что окружность Земли по экватору составляет всего 27 тысяч километров. Следовательно, континент Европы и Азии, согласно таким данным, составлял большую часть суши Северного полушария. Расстояние от Лиссабона до китайского города Гуаньчжоу, согласно сообщениям путешественника XIII в. Марко Поло, составляло около 11 тысяч километров. При таком допущении Колумб мог рискнуть и попытаться западным морским путем через Атлантику достичь Китая или Индии. Советники португальского короля отговаривали от финансирования этого предприятия — они доверяли старым расчетам Эратосфена. Испанский королевский двор после долгих и мучительных переговоров поддержал Колумба, и 3 августа 1492 г. он смог выйти в море. До конца своей жизни Колумб был убежден в том, что 12 октября 1492 г. он открыл «другую сторону» Индии.

Фальсифицированные измерения, таким образом, сделали возможным открытие Америки.

Астрономически большие числа

Окружность длиной 40 тысяч километров уже трудно представить себе наглядно, и воображение совершенно нам отказывает, если мы оставим Землю и обратимся к расстояниям космического масштаба. Вскоре после того, как Эратосфен совершил свой научный подвиг, астроном Гиппарх измерил расстояние от Земли до Луны. Это измерение было основано на оценке следующих наблюдений: во время лунного затмения тень Земли покрывает диск луны. Край тени Земли на диске имеет форму окружности — кстати говоря, именно этот факт послужил для Аристотеля доказательством шарообразной формы Земли, ибо только шар во всех своих проекциях отбрасывает на предметы круглую тень. Если во время лунного затмения взять монету достоинством 1 евро и начать рассматривать ее на расстоянии вытянутой руки (то есть на расстоянии приблизительно 75 сантиметров), очертания края монеты точно совпадут по размеру с краем земной тени на диске Луны. Длина окружности монеты равна приблизительно 75 миллиметрам, а монета удалена от глаза на расстояние, превышающее длину окружности в десять раз, то есть из этого можно заключить, что Луна удалена от Земли на расстояние, приблизительно в десять раз превышающее окружность Земли, что соответствует 400 тысячам километров. В сравнении с точно вычисленным средним расстоянием Луны от Земли, равным 384 тысячам километров, это не такой уж плохой результат. Сам Гиппарх впоследствии придумал более совершенный способ, с помощью которого определил расстояние от Земли до Луны с ошибкой всего в несколько процентов.

Рис. 3. Тень Земли так покрывает диск полной Луны, что размер округлого края тени соответствует размеру монеты достоинством 1 евро, удаленной на расстояние 75 см от глаза. Отсюда можно грубо оценить расстояние от Земли до Луны

Зная расстояние от Земли до Луны, можно — по крайней мере, так думал живший до Эратосфена астроном Аристарх — определить и расстояние от Земли до Солнца. Когда на дневном небосводе видна ровно половина Луны, достаточно, по мысли Аристарха, измерить угол между зрительным лучом, направленным на Солнце, и зрительным лучом, направленным на Луну. Дело в том, что на Луне угол между лучами зрения, направленными на Солнце и на Землю, является прямым. Зная угол треугольника, образованный двумя сторонами, в концах которых находятся Луна — Земля и Земля — Солнце соответственно, можно определить форму треугольника. Если же известна одна сторона этого прямоугольного треугольника — в нашем случае это сторона, соответствующая расстоянию от Луны до Земли, — то можно легко вычислить длины двух других сторон.