Читать книгу "Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой"

Сайт http://bit.ly/Myphysicslab – один из многих, где представлена компьютерная модель двойного маятника.

Постарайтесь предсказать, каким будет следующий проход нижней части относительно верхней части маятника – по часовой стрелке или против часовой? Это почти невозможно.

Чтобы изготовить ваш собственный маятник, посетите http://bit.ly/DoublePendulum.

Не разлетится ли Солнечная система?

С того времени, как Галилей первым исследовал падающие шары и раскачивающиеся маятники, математики сформулировали сотни тысяч уравнений, которые предсказывают поведение природы. Эти уравнения образуют фундамент современной науки, они известны как законы природы. Математика наделила нас возможностью создать сложный технический мир современности. Инженеры опираются на уравнения для проверки того, что мосты не упадут, а самолеты полетят в воздухе. Из того, как развивался наш рассказ до сих пор, вы можете заключить, что предсказание будущего всегда будет легким. Отнюдь нет, настолько просто будет не всегда – как открыл французский математик Анри Пуанкаре.

В 1885 г. король Швеции и Норвегии Оскар II предложил премию в 2500 крон тому, кто сможет математически установить раз и навсегда, что либо Солнечная система и дальше будет вращаться как заведенная, либо в какой-то момент времени Земля может оторваться от Солнца и улететь в космос. Пуанкаре счел, что сумеет найти ответ, и начал исследование.

Один из классических приемов, используемых математиками, когда они начинают анализировать сложные задачи, состоит в упрощении изучаемой системы. Они надеются, что это облегчит нахождение решения задачи в целом. Вместо того чтобы исследовать все планеты Солнечной системы, Пуанкаре начал с рассмотрения задачи всего лишь двух тел. Исаак Ньютон уже доказал, что их орбиты будут стабильны: два тела будут двигаться по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, что будет вечно повторяться.

Рис. 5.05

Начиная с этой отправной точки Пуанкаре стал изучать, что будет происходить при добавлении последующих планет в систему. Но проблемы возникают уже тогда, когда необходимо описать три тела, например Землю, Луну и Солнце. Вопрос о том, стабильны ли их траектории, становится крайне сложным – настолько, что он привел в тупик даже великого Ньютона. Трудность обусловлена тем, что теперь необходимо объединить в рецепте 18 ингредиентов: точные координаты каждого из тел в трех измерениях и их скорости в этих измерениях. Сам Ньютон написал, что «одновременное рассмотрение столь многих причин движения с целью определить движения на основе точных законов, допускающих легкий расчет, если я не ошибаюсь, выходит за пределы возможностей человеческого ума».

Но Пуанкаре не был обескуражен. Он добился значительного продвижения путем ряда последовательных приближений для описания орбит. Он считал, что совершение округления крайне небольших изменений в положениях планет, появившихся в его вычислениях, не повлияет существенно на окончательный ответ. Хотя Пуанкаре не сумел решить задачу полностью, его идеи были настолько изощренны, что ему присудили премию короля Оскара. Однако, когда статья Пуанкаре готовилась к публикации, один из редакторов не сумел проследить за математическими выкладками Пуанкаре и задал вопрос. Не мог бы Пуанкаре доказать предположение, что небольшие изменения в положениях планет приведут лишь к небольшим изменениям в их предсказанных орбитах?

Когда Пуанкаре пытался оправдать сделанное допущение, он неожиданно понял, что совершил ошибку. В противоположность его суждению даже небольшое изменение начальных условий – исходных положений и скоростей трех тел – могло привести к существенно различным орбитам. Его упрощения не работали. Пуанкаре связался с редакторами и попытался остановить выход статьи, потому что публикация ошибочных результатов в честь короля привела бы к скандалу. Статья уже была напечатана, но большинство экземпляров было собрано и уничтожено.

Все это походило на гигантский конфуз. Но, как часто бывает в математике, если что-то идет наперекосяк, обнаружение причины произошедшего может привести к интересным открытиям. Пуанкаре написал вторую, более развернутую статью, в которой обосновал свое мнение, что крайне небольшие изменения могут привести к внезапному распаду внешне стабильной системы. Открытие, совершенное благодаря его ошибке, привело Пуанкаре к одной из важнейших математических концепций последнего столетия: теории хаоса.

Пуанкаре обнаружил, что даже в ньютоновской Вселенной, казалось бы работающей как часы, простые уравнения могут привести к необычайно сложным результатам. И это вовсе не математика случайности или вероятности. Мы имеем дело с системой, которую математики называют детерминированной: она контролируется строгими математическими уравнениями, и, если фиксировать какие-либо начальные условия, всякий раз будет получаться один и тот же результат. Хаотическая система по-прежнему является детерминированной, но крайне небольшое изменение начальных условий может привести к существенно отличному результату.

Позвольте представить небольшой по масштабу пример, который служит хорошей моделью Солнечной системы. Мы поместим на пол три магнита: черный, белый и серый. Над магнитами мы подвесим магнитный маятник, который может свободно колебаться в любом направлении. Этот маятник будет притягиваться всеми тремя магнитами, и он будет раскачиваться между ними, пока не примет какое-то стабильное положение. Снизу к маятнику прикреплен небольшой контейнер с краской, которая капает и оставляет след. Мы приведем маятник в движение, он будет раскачиваться, а капающая краска отметит его путь. Таким образом мы пытаемся смоделировать астероид, который проносится сквозь Солнечную систему и испытывает притяжение трех планет. В конце концов он столкнется с одной из них.

Это крайне необычно, но почти невозможно повторить эксперимент и получить тот же самый след краски. Сколь усердно вы ни будете стараться привести маятник в то же самое положение и качнуть в прежнем направлении, краска будет прочерчивать совершенно другой след, и в конечном счете маятник может оказаться у любого из трех магнитов. На рис. 5.06 показаны три траектории, начинающиеся почти одинаковым образом, но завершающиеся у разных магнитов.

Уравнения, контролирующие движения маятника, являются хаотическими: крайне небольшое изменение начального положения может самым драматичным образом повлиять на конечный результат. Это характерный признак хаоса.

Рис. 5.06. Самое небольшое изменение начального положения маятника может привести к его движению по совершенно другой траектории между тремя магнитами (которые отмечены небольшими кружками – белым, серым и черным)