Читать книгу "Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой"

Поскольку книги продолжают издаваться в больших количествах, номера ISBN начали заканчиваться. Поэтому было решено, что с 1 января 2007 г. в ISBN будет 13 цифр. 12 из них по-прежнему идентифицируют книгу, издателя и страну происхождения, а тринадцатая будет отслеживать, не вкрались ли ошибки. Но ключевым для номера ISBN теперь является делимость на 10, а не на 11. Найдите номер ISBN этой книги. В нем 13 цифр. Сложите 2, 4, 6, 8, 10 и 12-ю цифру, а сумму умножьте на 3. Теперь прибавьте к промежуточному результату все остальные цифры. Итоговый результат будет делиться на 10. Если же вы сделали ошибку при записи номера ISBN, то у вас, скорее всего, получится число, которое не делится на 10.

Как использовать коды для чтения мыслей

Для того чтобы показать этот фокус, вам понадобится 36 монет. Дайте вашему ничего не подозревающему другу 25 монет и попросите его расположить их на сетке 5 × 5 со случайным распределением орлов и решек. Он, к примеру, мог бы расположить монеты так:

Таблица 4.06

Потом вы говорите: «Через минуту я попрошу тебя перевернуть одну из монет, после чего я прочитаю твои мысли и скажу, какую именно ты перевернул. Ты можешь решить, что я могу запомнить порядок 25 монет, поэтому давай сделаем мою задачу еще более сложной и увеличим квадрат».

Затем вы добавляете монеты, создав дополнительный ряд и столбец, так что получается сетка 6 × 6. На первый взгляд вы распределяете орлы и решки случайно… хотя на самом деле это вовсе не так. Вы считаете, сколько решек имеется в каждом ряду и каждом столбце начиная с первого столбца. Если в первом столбце нечетное число решек, то положите дополнительную монету в первом столбце решкой вверх. Если же число решек четно (0 считается четным числом), то положите дополнительную монету в конец первого столбца вверх орлом.

Сделайте то же с каждым столбцом и затем добавьте монету в конец каждого ряда, используя прежний критерий. Теперь в правом нижнем углу появится ячейка, которую необходимо заполнить для завершения квадрата. Положите монету вверх орлом или решкой в зависимости от того, четное или нечетное число решек в столбце над этим углом. Интересно, что это также зафиксирует четность или нечетность числа решек в дополнительном нижнем ряду. Вы можете доказать, что это всегда так? Прием состоит в том, чтобы заметить, что это число говорит вам, четно или нечетно количество решек во всей сетке 5 × 5.

Как бы то ни было, сетка теперь будет выглядеть следующим образом:

Таблица 4.07

И вы готовы показать фокус. Повернитесь спиной и попросите вашего друга перевернуть какую-либо монету. Когда это сделано, снова повернитесь лицом к монетам. Сосредоточьтесь на сетке и объявите, что вы намерены прочитать мысли друга и идентифицировать перевернутую монету.

Разумеется, вы вовсе не читаете мысли вашего друга. Вы возвращаетесь к исходному квадрату 5 × 5 и считаете орлы и решки в каждом ряду и столбце. Вы проверяете четность числа решек и сопоставляете ее с добавленным вами орлом или решкой, указывающими на четность в каждом столбце или ряду. Если ваш друг перевернул одну из монет на сетке 5 × 5, то будет один ряд и один столбец, где показания добавленных вами монет будут неправильными. Посмотрите на место пересечения этих ряда и столбца – лежащая там монета и была перевернута.

Теперь вы, скорее всего, сумеете определить, какая монета была перевернута на данной сетке:

Таблица 4.08

В первом столбце сетки 5 × 5 четное число решек, но добавленная вами монета лежит решкой вверх, указывая, что изначально там было нечетное число решек. Итак, монета, перевернутая вашим другом, находится в первом столбце. Перейдем теперь к рядам. Во втором ряду наблюдается рассогласование: там нечетное число решек, но ваша «контрольная цифра» говорит, что должно быть четное число. Теперь вы можете прочесть мысли вашего друга и возвестить: «Ты перевернул монету в первом столбце, во втором ряду». Вас ждет взрыв аплодисментов впечатленной публики.

Но что будет, если ваш друг перевернул одну из добавленных вами монет? Никаких проблем. Теперь нижний правый угол будет неправильно указывать на четность последнего ряда или последнего столбца. Если он не соответствует последнему ряду, то вы будете знать, что изменение произошло в последнем ряду. Поэтому вы можете проверить поочередно столбец за столбцом, чтобы понять, где произошло рассогласование. Если вы обнаружите, что несоответствие имеется в шестом столбце, значит, ваш друг перевернул монету в нижнем правом углу.

Вот опять та же сетка, где была перевернута одна из добавленных вами монет. Вы можете идентифицировать ее?

Таблица 4.09

Она находится в верхнем правом углу. Орел в нижнем правом углу говорит вам, что выше его в нижнем столбце должно быть четное число решек, но оно оказалось нечетным. Теперь выполните проверку по рядам. В первом ряду имеется рассогласование, поскольку орел в конце ряда говорит, что должно быть четное число решек слева от него. Но их нечетное число, из чего следует, что была перевернута монета в верхнем правом углу.

Подобные приемы лежат в основе так называемого кода с коррекцией ошибок, применяемого компьютерами для исправления ошибок, которые могли вкрасться в сообщения при их передаче. Замените орлы и решки на нули и единицы, и внезапно сетка становится цифровым сообщением. Например, каждый столбец в сетке 5 × 5, первоначально выложенной для показа фокуса, мог бы представлять букву в коде Бодо. Тогда сетка 5 × 5 стала бы сообщением длиной в пять букв. Дополнительные строки и столбцы добавляются компьютером для отслеживания ошибок.

Следовательно, пожелай мы отправить кодированное сообщение о третьем альбоме Coldplay, можно воспользоваться тем же приемом, что и ранее, примененным к сетке 5 × 4. Это даст возможность понять, где и когда вкрадываются ошибки. Вот как должно выглядеть название альбома, если цветные блоки заменить на 1, а пропуски на 0:

Таблица 4.10

Теперь добавим дополнительную строку и столбец с нулями и единицами, чтобы обозначить, четное или нечетное количество единиц имеется в каждой из строк и столбцов: