Читать книгу "Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн - Тибо Дамур"

Беспорядок и подсчет конфигураций блох

Итак, вернемся к содержанию статьи Эйнштейна, опубликованной в марте 1905 г. Эта статья состоит из нескольких независимых разделов, посвященных разным аспектам теории света и его взаимодействий с веществом. Первый раздел содержит неявную критику работ Планка, о которых мы только что говорили. Фактически Эйнштейн заключает, что правильное применение известных в то время законов физики неминуемо приводит к совершенно определенному закону для излучения черного тела. Этот закон{114}, однако, имеет два существенных недостатка: (i) он категорически не согласуется с экспериментальными измерениями в области больших частот, где применим закон Вина; и (ii) этот закон физически абсурден, поскольку предсказывает, что любая горячая печь или просто дрова должны выдавать бесконечное количество излучения преимущественно в области очень высоких частот. Другими словами, согласно физике XIX в., присев погреться у костра, можно испечься до смерти независимо от температуры огня! На основании этого результата Эйнштейн, безусловно, приходит к выводу, что работы Планка, в которых утверждалась возможность, оставаясь в рамках физики XIX в., вывести другой закон для черного тела, были математически и физически непоследовательны. Однако его статья не содержит явной критики работ Планка. Это может показаться странным, поскольку переписка Эйнштейна того времени показывает, что полный юношеского огня он всегда был готов критиковать своих коллег-физиков, и в том числе весьма знаменитых. Возможно, в сдержанном стиле статьи Эйнштейна следует искать влияние его ближайшего друга Микеле Бессо, того самого, который помог ему в поиске основной идеи теории относительности. Действительно, в 1928 г. Бессо писал Эйнштейну:

«С моей стороны, я был твоим слушателем на протяжении 1904–1905 гг., и, возможно, я лишил тебя какой-то части твоей славы, помогая формулировать твои сообщения по проблеме квантов, но взамен я оставил тебе возможность обрести нового друга, Планка».

Так или иначе, этот первый результат подорвал уверенность Эйнштейна в законе черного тела, предложенном Планком. В связи с этим в оставшейся части статьи он пользуется исключительно предложенным ранее законом Вина, имеющим хорошие экспериментальные подтверждения для достаточно высоких частот. Исходя из закона Вина и используя законы термодинамики, ему удается вычислить «энтропию» f излучения заданной частоты, содержащегося в заданном объеме V. Напомним, что энтропией физической системы называется определенная мера беспорядка, которая отражает факт нашего, вообще говоря, неполного знания об этой системе.

Чтобы разъяснить понятие энтропии и ее связь с идеей беспорядка, приведем один пример. Рассмотрим шахматную доску или квадрат восемь на восемь, содержащий, таким образом, 64 клетки. В начальный момент времени разместим определенное количество блох на одной из клеток этой шахматной доски и позволим блохам передвигаться свободно, т. е. прыгать в любых направлениях. Будем исходить из того, что края шахматной доски достаточно высоки и не позволяют блохам выпрыгнуть наружу. Спустя некоторое время, в течение которого блохи прыгали повсюду, они распределятся почти равномерно по всем клеткам шахматной доски. Это конечное состояние, очевидно, менее упорядоченное, нежели исходное состояние, в котором, как мы знаем, все блохи были собраны на одной клетке. Можно пойти дальше и количественно оценить увеличение беспорядка между начальным и конечным состояниями, для этого необходимо подсчитать число возможных конфигураций «системы блох». В конечном состоянии каждая блоха может находится с равной вероятностью на любой из 64 клеток шахматной доски. Таким образом, число возможных (равновероятных) состояний для одной блохи равно 64. Если у нас есть две блохи (предполагаемые независимыми и различимыми), то число возможных конфигураций для такой системы из двух блох равно 64 × 64, т. е. 64². Для трех блох мы получим 64³, и в общем случае можно заключить, что число возможных (равновероятных) конфигураций для системы из n блох будет равно 64n. Заметим, поскольку в начальном состоянии все блохи находились на одной определенной клетке, то в этом состоянии мы имели одну-единственную и четко заданную конфигурацию системы блох.

В целом, основной вывод, который следует из рассмотренного примера, состоит в следующем. Если мы позволяем определенному количеству, скажем n, блох занимать площадь, в 64 раза большую площади, на которой они находились изначально, то число возможных конфигураций для такой системы умножается на 64n. Если бы мы рассмотрели другое отношение площадей, скажем конечную площадь в 10 раз больше начальной, то число возможных конфигураций умножилось бы на 10n. И если бы мы рассмотрели не блох на шахматной доске, а, скажем, мух, исходно ограниченных небольшим объемом и затем выпущенных летать по всему объему комнаты, то число возможных конфигураций нужно было бы умножить на фактор rn, где r – отношение конечного объема к начальному, а n – количество мух. Существенным моментом для дальнейшего обсуждения является то, что число n независимых элементов (или «корпускул») рассматриваемой системы появляется в виде отношения объемов, доступных для системы в конечном и начальном состояниях.

Энтропия и беспорядок

В физике, если имеется система, для которой указаны лишь некоторые глобальные макроскопические характеристики, такие как ее полная энергия и объем, в котором она находится, энтропией называется логарифм числа возможных микроскопических конфигураций системы (также называемых «микроскопическими состояниями»). Напомним, что логарифм числа, по существу, определяется как количество цифр его десятичного представления, стоящих перед запятой, минус один{115}. Например, логарифм 10 равен 1, логарифм 100 равен 2, логарифм одного миллиона равен 6. Отметим также, что логарифм единицы равен нулю. Другими словами, логарифм L заданного числа N удовлетворяет условию: N = 10L. Понятие энтропии было введено в середине XIX в. Рудольфом Клаузиусом, когда он пытался лучше понять основополагающую работу Сади Карно. Клаузиус показал, как можно определить энтропию системы, исходя из знания ее термодинамических характеристик, и предложил в качестве аксиомы хорошо известный всем второй принцип термодинамики, согласно которому энтропия изолированной системы может только возрастать. [Напомним, что первый принцип термодинамики гласит, что энергия сохраняется.] Несколько лет спустя венский физик Людвиг Больцман понял, что второй закон термодинамики имеет под собой статистические основания{116} и что энтропия системы должна быть пропорциональна логарифму числа возможных микроскопических состояний{117}. Это позволило осознать второй закон термодинамики как простое выражение естественной тенденции изолированных систем стремиться к беспорядку. Примером может служить рассмотренная выше система блох, которая из начального «упорядоченного» состояния спонтанно развивается, последовательно занимая всевозможные доступные состояния, и, таким образом, большую часть времени находится в некотором обобщенном состоянии, утратив свой «первоначальный порядок».