Читать книгу "Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский"

Равновесие по Нэшу представляет собой ситуацию, когда ни одному из участников не выгодно в одиночку отклоняться от выбранной стратегии. Данная концепция лежит в основе теории игр, за разработку которой Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике 1994 года. «Игрой» можно назвать любую ситуацию, когда исход зависит от действий всех участников и у каждого из них свои интересы. Очевидно, что аукцион – это тоже игра. Участники выбирают ставки с целью получить товар по самой выгодной цене[25].

Как распределить несколько рекламных мест

Аукцион Викри сильно упрощает реальность. Поисковые системы разыгрывают не одно, а несколько рекламных мест разной ценности. Хорошо известно, что количество кликов очень сильно зависит от позиции рекламы на странице. Например, по статистике Google, на мобильном телефоне почти 28 % пользователей кликает на самую верхнюю рекламу, а на вторую сверху – чуть больше 9 %. Чем выше вероятность кликов, тем дороже место.

Три верхние строчки – самые ценные. Часто нижние позиции на первой странице тоже заняты рекламой, это следующие по ценности места. Следующий ярус – на экране справа. А в особых случаях реклама попадается и на второй странице – «на пробу» для тех, кто ищет нестандартные результаты.

Теория Викри распространяется на случай, когда разыгрываются сразу несколько товаров. Это хорошо изученная модель аукциона, так называемый механизм Викри – Кларка – Гровса, который часто называют VCG, по первым буквам имен его создателей. Схема вычисления цен и математические свойства VCG довольно сложны и выходят за рамки нашей книги. Мы назовем только две основные особенности.

Во-первых, в аукционе VCG сохраняется свойство совместимости по стимулам: выгоднее всего делать честные ставки. Во-вторых, главная идея этого механизма та же, что и у аукциона второй цены. Возьмем снова наш простой пример. У нас один товар, Анна ставит 500, Борис 300, а остальные – еще меньше. В аукционе второй цены Анна получает товар, но платит 300, то есть максимальную ставку других участников. Примерно то же самое происходит в VCG при розыгрыше нескольких товаров. Товары уходят к тем, кто сделал на них максимальные ставки, а цены определяются не ставкой победителя, а ставками других участников.

Поисковые системы также используют обобщенный аукцион второй цены, изобретение Google. Система проста: каждый платит не свою цену, а следующую по величине. Например, рекламодатели А, Б, В и Г поставили за клик 10, 7, 3 и 1, как в табл. 8.1. Разыгрываются три места. Тогда А получает первое место за 7, Б получает второе место по цене 3, В – третье место по цене 1, а Г рекламного места не получает.

Таблица 8.1. Четыре рекламодателя и их ставки и цены за клик в обобщенном аукционе второй цены

Google пришел к этой системе исходя из идеи второй цены и многочисленных экспериментов. Исчерпывающего математического анализа такого аукциона пока нет, но кое-какие основные результаты известны. Например, делать честные ставки выгодно не всегда, просто потому что более низкие рекламные позиции могут оказаться гораздо выгоднее. Это одна из причин, по которой «Яндекс» с августа 2015 года перешел на аукционы типа VCG, где честные ставки ведут к оптимальной позиции по оптимальной цене для всех участников.

Для заинтересованного читателя ниже во врезке мы приводим пример, в котором в обобщенном аукционе второй цены одному из участников выгодно занизить ставку. Этот пример не требует никакой математической подготовки, но если вы не хотите вникать в детали, можете его пропустить.

Обобщенный аукцион второй цены, в котором невыгодно делать честную ставку

Рассмотрим снова пример в табл. 8.1. Каждый клик для А представляет ценность 10. Допустим, вероятности клика на первой и второй позиции примерно как на десктопе: около 20 % на первой позиции и около 11 % – на второй. В этом случае ценность первой позиции для А в среднем 20 % от 10, то есть 2, а ценность второй позиции в среднем 11 % от 10, то есть 1,1.

При правдивой ставке А получает первую позицию по цене 7. Вспомним, что А платит только в случае клика. Это в среднем 20 % случаев. Значит, средняя прибыль А равна

[20 % от 10] − [20 % от 7] = 2 − 1,4 = 0,6.

Но если бы А поставил 6, то он получил бы вторую позицию по цене 3, то есть прибыль была бы равна

[11 % от 10] − [11 % от 3] = 1,1 − 0,33 = 0,77.

Это больше, чем 0,6. Получается, что для А выгоднее сделать заниженную ставку 6, а не правдивую ставку 10.

Подготовленному читателю мы рекомендуем книгу Иона Клейнберга и Дэвида Исли{31}. В частности, в главе 15 этой книги подробно анализируются свойства обобщенного аукциона второй цены. Книга написана для широкой технической публики и есть в интернете в открытом доступе.

На самом деле картина в бизнесе поисковиков еще сложнее. При оплате за клик нет смысла отдавать козырные рекламные места под плохие объявления даже по самым высоким ценам. Качественная реклама приносит больше кликов. Допустим, рекламодатель А заплатит 7, а Б всего 3, но объявление Б генерирует в 4 раза больше кликов. Объявление А получит один клик и принесет 7, а Б на том же самом месте получит 4 клика и принесет 12. Поэтому при розыгрыше рекламных мест ставка Б считается выше, чем ставка А.

Самым простым вариантом такого аукциона пользовался Yahoo! в начале 2000-х годов. Качество сайта они оценивали как вероятность клика. Тогда ставка рекламодателя определялась как средний доход, который он предлагает:

[ставка в аукционе Yahoo] = [денежная ставка рекламодателя] × [вероятность клика].

Как именно определяется качество в современных системах и как оно влияет на подсчет ставок – строгая коммерческая тайна. Это зависит от качества сайта, отзывов покупателей, интересов данного пользователя и многого другого.

В итоге качество для поисковой системы – это потенциальное число кликов, которое принесет объявление. Но крайне важен и тот факт, что пользователям нравится видеть качественные объявления. Это поддерживает репутацию поисковика. А при нынешней конкуренции она бесценна!