Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

Смотрите, какие суммы выходят:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Не буду томить вас. Это числа знаменитой последовательности Фибоначчи, которая окажется в центре нашего внимания в следующей главе.

Глава номер пять

Магия последовательности Фибоначчи

Числа матушки Природы

Лицезрите во всей красе одну из самых таинственных числовых последовательностей – последовательность Фибоначчи!

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

В ее начале находятся два одинаковых числа – 1 и 1. Третье число – это 1 + 1 (сумма двух предыдущих чисел), то есть 2. Четвертое – 1 + 2 = 3, пятое – 2 + 3 = 5 и т. д. и т. п. Очень похоже на чехарду: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21… Впервые эти числа в таком виде появились в книге 1202 года Liber Abaci («Книга абака», в буквальном переводе с латинского – «Книга вычислений») за авторством Леонардо Пизанского, впоследствии прозванного Фибоначчи. Значение этого труда для европейской цивилизации переоценить невозможно: он впервые знакомил западного читателя с индо-арабскими цифрами и ставшими уже привычными для нас арифметическими методами.

Одна из самых известных включенных в него задач – задача о бессмертных кроликах. Допустим, крольчонку требуется месяц, чтобы повзрослеть. От каждой пары кроликов каждый месяц рождается еще пара – и так до бесконечности, поскольку наши кролики бессмертны. Вопрос: если начать с одной пары, сколько у нас будет пар кроликов 12 месяцев спустя?

Иллюстрировать задачу можно либо картинкой, либо таблицей. Маленькой буквой r отметим пары малюток-крольчат, большой R – пары взрослых кроликов. От месяца к месяцу каждая маленькая r становится большой R, а каждая большая R заменяется R и r (это означает, что крольчата вырастают, а затем от них рождается пара новых крольчат).

Всю эту ситуацию мы можем представить в виде таблицы. Здесь хорошо видно, что в первые 6 месяцев число пар кроликов равняется соответственно 1, 1, 2, 3, 5 и 8.

Давайте попробуем доказать, что на седьмой месяц у нас будет уже 13 пар, ничего при этом не рисуя и не фиксируя на листочке. Сколько к этому моменту будет пар взрослых кроликов? Так как каждая пара из тех, что получились у нас к шестому месяцу, к седьмому успела повзрослеть, получаем 8 пар.

А сколько будет пар крольчат? Их число будет равняться числу пар взрослых кроликов шестого месяца (то есть 5) или общему количеству пар пятого месяца (и такое совпадение совсем не случайно). Следовательно, на седьмой месяц у нас будет 8 + 5 = 13 пар.

Если мы назовем первые два числа последовательности Фибоначчи F1 = 1 и F2 = 1, а потом определим каждое следующее число как сумму предшествующих ему двух, то, при n ≥ 3 получим

Fn = Fn – 1 + Fn – 2

И тогда F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8 и т. д. по таблице:

Следовательно, ответом на задачу Фибоначчи о бессмертных кроликах будет F13 = 233 пар, из которых F12 = 144 будут взрослыми, а F11 = 89 – крольчатами.

Эта последовательность пригодна не только для подсчета численности популяций животных. Числа Фибоначчи встречаются даже в самой природе, и на удивление часто: это и лепестки цветка, и спирали подсолнуха, ананаса или сосновой шишки. Меня в последовательности Фибоначчи больше всего восхищают обнаруживающиеся в ней замечательные числовые закономерности.

Давайте для начала сложим несколько первых из этих чисел:

Числа справа к последовательности не относятся, но находятся совсем рядом с ней – буквально в одном шаге. Давайте разберемся, что тут происходит. Возьмем последнее из этих уравнений и посмотрим, что произойдет, если заменить каждое из чисел Фибоначчи на разность двух следующих после него. То есть

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = (2 – 1) + (3 – 2) + (5 – 3) + (8 – 5) + (13 – 8) + (21 – 13) + (34 – 21) = 34 – 1

Обратите внимание, как двойка из (2 – 1) перекрывается двойкой из (3 – 2), а тройка из (3 – 2) перекрывается тройкой из (5 – 3). Собственно говоря, перекрываются здесь практически все числа, за исключением самого большого 34 и начального –1. Означает это, что сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи вычисляется по формуле

F1 + F2 + F3 +… + Fn = Fn+2 – 1

А вот еще один вопрос, напрямую связанный с первым и имеющий не менее элегантный ответ. Что мы получим, если захотим сложить между собой первые n чисел, занимающих четные позиции в последовательности? Другими словами, получится ли у нас упростить сумму

F2 + F4 + F6 +… + F2n

Давайте сначала посмотрим на некоторые из них: