Читать книгу "Величайшие математические задачи - Йен Стюарт"

Но даже при помощи метода Хееша вручную искать неизбежный набор сводимых конфигураций было невероятно сложно. Отдельные конфигурации при этом, вероятно, были бы достаточно небольшими, но их количество… Хееш продолжал упорно работать, а в 1948 г. даже прочитал курс лекций на эту тему. Он полагал, что полный набор конфигураций должен включать порядка 10 000 штук. На тот момент он успел доказать сводимость 500 комбинаций. На одной из лекций Хееша присутствовал молодой человек по имени Вольфганг Хакен. Позже он признавался, что мало что понял из того, о чем говорил Хееш, но некоторые его рассуждения Хакену запомнились. Он продолжил изучать топологию и позже совершил крупное открытие в теории узлов. Это побудило его взяться за гипотезу Пуанкаре (см. главу 10). Исследуя один из подходов к проблеме, Хакен разложил все возможные случаи на 200 вариантов, решил 198 из них и еще 13 лет безуспешно сражался с двумя оставшимися. После этого он сдался и перешел к задаче о четырех красках. Очевидно, Хакен любил по-настоящему сложные проблемы, но его беспокоила мысль о том, что с 10 000 комбинаций Хееша может произойти нечто подобное. Представьте только: успешно разобраться с 9998 комбинациями и застрять на двух последних. Поэтому в 1967 г. он пригласил Хееша к себе в Университет штата Иллинойс, чтобы спросить совета.

В те дни компьютеры уже начинали потихоньку проникать в мир математики, но тогда они были громадными машинами, которые занимали целые здания, а не стояли спокойно на столе и не умещались в портфеле. Хакена интересовало, можно ли прибегнуть для решения задачи к помощи компьютеров. Оказалось, что такая мысль уже приходила Хеешу в голову, и он даже сделал примерную оценку сложности этой задачи. Из нее следовало, что даже лучший компьютер, к которому он мог бы получить доступ, с ней не справится. В Иллинойсе, однако, был гораздо более мощный компьютер ILLIAC–IV, и Хакен подал заявку на машинное время. Оказалось, однако, что компьютер еще не готов, и ему посоветовали обратиться в Брукхейвенскую лабораторию на Лонг-Айленде, где имелся Cray 6600. Директором компьютерного центра лаборатории был Ёсио Симамото, тоже очарованный задачей о четырех красках. Хееш и Хакен вытянули счастливый билетик — и получили вожделенный доступ к машине.

Компьютер оправдал ожидания, но Хакен начал подозревать, что его можно использовать намного эффективнее. Они генерировали множество сводимых комбинаций и надеялись собрать когда-нибудь из них полный неизбежный набор, но при такой стратегии много времени напрасно растрачивалось на комбинации, которые в конечном итоге оказывались несводимыми. Может быть, лучше поступить наоборот: сделать неизбежность основной целью, а со сводимостью разобраться позже? Конечно, все равно придется брать комбинации с хорошими шансами на сводимость, но сам по себе этот способ казался более перспективным. Однако к этому моменту Cray в Брукхейвене уже был занят более важными вещами. Хуже того, уже несколько специалистов сказали Хакену, что методы, которыми он хочет воспользоваться, вообще невозможно воплотить в компьютерных программах. Он поверил специалистам и прочел лекцию о том, что задача о четырех красках не может быть решена без помощи компьютеров, но теперь, похоже, получается, что с компьютерами ее тоже не решишь. В общем, Хакен решил оставить попытки.

Среди слушателей на лекции присутствовал и опытный программист Кеннет Аппель, который сообщил Хакену, что эксперты, на которых тот ссылается, вероятно, просто хотели избавиться от него, поскольку на создание подобных программ пришлось бы затратить много усилий при непредсказуемом результате. Аппель считал, что математических задач, которые невозможно запрограммировать, не существует. Вопрос только в том, сможет ли программа получить результат за разумное время. Хакен и Аппель объединили усилия. Стратегия, разработанная как модификация все того же метода разрядки, заставляла вносить изменения в программу, а изменения в программе, в свою очередь, заставляли вносить новые изменения в метод. Этот процесс привел к новой концепции «географически подходящих» конфигураций, которые не содержали определенных неподходящих конфигураций, препятствующих сводимости. Шанс на то, что такая конфигурация окажется сводимой, был заметно выше обычного, а определяющее свойство было несложным и легко поддавалось проверке. Аппель и Хакен решили доказать теоретически, а не на компьютере, что существует неустранимое множество географически подходящих конфигураций. К 1974 г. им это удалось.

Это внушало оптимизм, но ученые понимали, что теперь, скорее всего, произойдет: некоторые из географически подходящих конфигураций непременно окажутся несводимыми, так что придется их исключать и заменять на еще более длинный и сложный набор конфигураций. Программа будет «гоняться за собственным хвостом», и успех будет достигнут только в том случае, если этот хвост удастся догнать. Не желая тратить годы на бесплодные поиски, Хакен и Аппель прикинули, сколько времени может занять процесс. Результаты обнадеживали, поэтому работа была продолжена. Теория и расчеты подпитывали и модифицировали друг друга. Временами компьютер, казалось, начинал жить собственной жизнью и проявлять интеллект, «открывая» полезные свойства конфигураций. Затем администрация университета приобрела новый, очень мощный компьютер — более мощный, чем те, что были доступны на тот момент университетским ученым. После многочисленных протестов и споров половина машинного времени была выделена на научные нужды. Вечно меняющийся список неизбежных конфигураций Аппеля и Хакена стабилизировался на уровне примерно 2000 штук. В июне 1976 г. компьютер выполнил последний тест на сводимость, и доказательство было завершено. Благодаря The Times эта история попала в средства массовой информации и стремительно разлетелась по всему миру.

Аппелю и Хакену еще нужно было убедиться, что в доказательстве нет глупых ошибок и упущений, а несколько групп ученых уже устремились по их следам. К июлю, уверившись в действенности своего метода, Аппель и Хакен официально объявили математическому сообществу, что им удалось доказать теорему о четырех красках. Они выпустили препринт — предварительный вариант статьи, который печатается до выхода в свет основной публикации. В то время на публикацию серьезной математической статьи обычно уходило от одного до двух лет. Чтобы не сдерживать прогресс, математикам приходилось искать более быстрые способы познакомить профессиональное сообщество с важными результатами, и препринты были одним из них. В наши дни препринты, как правило, публикуются в Интернете. Полная официальная публикация требует рецензирования, и препринты помогают в ее подготовке — ведь кто угодно может читать их, искать ошибки и сообщать о них авторам, а также предлагать улучшения. Именно поэтому опубликованная версия статьи часто сильно отличается от препринтной.

Окончательное доказательство потребовало около 1000 часов компьютерного времени и содержало 487 правил разрядки. Результаты были опубликованы в двух статьях с 450-страничным приложением, в котором показаны все 1482 конфигурации. На тот момент это был верх совершенства.

Однако основной реакцией математического сообщества стало легкое разочарование. Не результатом как таковым и не замечательным компьютерным достижением. Разочарование вызвал метод. В 1970-е гг. математические доказательства составлялись — и проверялись — вручную. Как я уже говорил в главе 1, доказательство — это рассказ, сюжет которого убеждает вас в истинности того или иного утверждения. Но у этого рассказа не было сюжета. Или если и был, то с большой прорехой на самом интересном месте: