Читать книгу "Математическое мышление - Джо Боулер"

В рамках разработки и адаптации задач, ориентированных на успешное изучение математики, существует шесть вопросов, которые повышают эффективность работы, если ставить их и действовать в соответствии с ними. Некоторые задачи лучше подходят для конкретных вопросов; многие задачи и вопросы сочетаются естественным образом. Но я уверенно могу сказать: уделив внимание хотя бы одному из следующих шести вопросов, можно сделать задачу более содержательной.

1. Можете ли вы раскрыть задачу так, чтобы она стимулировала применение разных методов, путей и способов представления?

Учителя способны раскрыть задачи так, чтобы стимулировать учеников к размышлениям над разными методами, путями и способами представления. Раскрывая задачу, мы усиливаем ее учебный потенциал. Это можно сделать разными способами. Включить требование о визуальном представлении (как в задачах с растущими фигурами и с отрицательным пространством) — отличная стратегия. Еще один очень эффективный способ состоит в том, чтобы предложить ученикам придать своим решениям смысл.

Кэти Хамфриз — замечательная учительница. В книге, которую мы с ней написали вместе, представлено описание шести видео с записью того, как Кэти проводит уроки в своем седьмом классе, а также планы этих уроков. На одном из них показано, как Кэти предлагает ученикам решить такую задачу: 1 разделить на 2/3. Это мог бы быть закрытый вопрос, ориентированный на фиксированное мышление, с одним ответом и одним методом. Но Кэти изменила задачу, включив в нее два задания: придать своему решению смысл и представить визуальное доказательство. Кэти начинает урок так: «Вероятно, вы знаете правило, с помощью которого можно решить задачу, но сегодня оно не имеет значения; я хочу, чтобы вы объяснили, почему ваше решение имеет смысл».

На видеозаписи урока видно, что некоторые ученики предложили ответ 6. Ведь множеством цифр (таких, как 1, 2 и 3) можно манипулировать без математического осмысления и получить 6. Однако детям не удалось представить решение в виде рисунка и объяснить его смысл. Другие смогли показать, почему единица содержит полтора числа 2/3, с помощью разных вариантов визуального представления. Требование представить свои размышления в виде рисунка и наполнить ответ смыслом изменило характер задачи. Теперь она ориентирована не на фиксированное мышление, а на мышление роста. И мы провели замечательный урок, на котором царила атмосфера осмысления и понимания.

2. Можете ли вы превратить задачу в исследование?

Когда ученики считают, что во время урока они должны не воспроизводить методы, а выдвигать идеи, это все меняет (Duckworth, 1991). Один и тот же материал можно объяснять, ставя вопросы о процедурах или вопросы, которые побуждают размышлять над идеями и применять процедуры. Например, вместо того чтобы предлагать ученикам вычислить площадь прямоугольника 12 × 4, спросите их, сколько прямоугольников площадью 24 они могут найти. Это меняет мотивацию и уровень понимания. В варианте, ориентированном на исследования, ученики используют формулу площади прямоугольника, и вдобавок им нужно поразмышлять о размерностях и пространственных отношениях, а также о том, что произойдет при изменении одной размерности (рис. 5.17). Такое изучение математики более комплексно и увлекательно, поскольку ученики используют свои идеи.

Рис. 5.17. Прямоугольники с площадью 24

Вместо того чтобы предлагать ученикам назвать четырехугольники с разными свойствами, попросите их придумать свои четырехугольники, как показано в примере 5.5.

ПРИМЕР 5.5. НАЙДИТЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Четыре четверки — еще одна замечательная задача (пример 5.6). Вы предлагаете ученикам образовать все числа от 1 до 20 из четырех четверок и любой математической операции, например: √4 + √4 + 4/4 = 5.

ПРИМЕР 5.6. ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ

Можете ли вы найти все числа от 1 до 20, используя только числа 4 и любые математические операции?

Дополнительные вопросы.

Можете ли вы найти несколько способов составления каждого числа из четырех четверок?

Можете ли вы составить таким образом число больше 20?

Можете ли вы найти отрицательные целые числа с помощью четырех четверок?

Это превосходное задание на применение математических операций, но оно ничем не напоминает задачу на отработку математических операций, поскольку операции изящно встроены в нее. Когда мы выложили эту задачу на youcubed.org, учителя сказали нам, что она очень увлекательна. Вот комментарии двух наших посетителей.

Задача с четырьмя четверками так вдохновила и увлекла моих учеников, что они решили исследовать три тройки — и их идеям не было конца.

Задача с четырьмя четверками великолепна! Я использовала ее на уроке математики в шестом классе, и ученики составили уравнения, которые повлекли за собой обсуждение таких тем, как свойство дистрибутивности, порядок выполнения операций, переменные… Это было прекрасно!

Полное описание задачи на YouCubed содержит рекомендации по способам постановки задачи и организации работы учеников; см. https://www.youcubed.org/wim-day-1.

Еще один способ превратить задачу в исследование — предложить ученикам написать статью, информационный бюллетень или небольшой рассказ о ней. Такая схема применима к любому материалу. В девятом классе школы Рейлсайд ученикам поручили написать книгу по теме y = mx + b; ученики исписали много страниц объяснениями того, что значит это уравнение, как его представить в графическом виде, когда его можно использовать и каковы их идеи по поводу его значения. Во время учебного модуля по геометрии в средней школе, который я разработала со своими студентами из Стэнфорда (Дэном Мейером, Сарой Селлинг и Кэти Сан), мы предложили ученикам написать информационный бюллетень о подобии, используя фотографии, задачи, анимацию и любые другие средства, которые помогут показать, что они знают об этой теме. В примере 5.7 представлена общая форма задания с информационным бюллетенем, которые мы разработали.

ПРИМЕР 5.7. ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЮЛЛЕТЕНЬ

Вы пишете информационный бюллетень, чтобы рассказать, что вы узнали об этой математической теме, членам семьи и друзьям. Вы можете показать свое понимание соответствующих идей и объяснить, почему математические концепции, которые вы изучили, так важны.