Читать книгу "Математическое мышление - Джо Боулер"

2. Растущие фигуры: сила визуализации

Следующий пример взят из совсем другой среды — занятий летней школы в районе Сан-Франциско, куда отправили учеников с низкой успеваемостью за прошедший учебный год. Вместе со своими студентами из Стэнфорда я преподавала математику в одном из четырех математических классов. Мы решили сосредоточиться на алгебре, но алгебра как таковая, бездумный поиск значения х, не была нашей конечной целью. Мы преподавали ее как инструмент, который можно использовать для решения содержательных, увлекательных задач. Наши ученики только что кончили шестой и седьмой классы, и большинство из них ненавидели математику. Примерно половина получила низшие оценки за прошедший учебный год (подробнее см.: Boaler, 2015; Boaler & Sengupta Irving, 2015).

Разрабатывая учебную программу для летней школы, мы использовали ряд ресурсов, в том числе книги Марка Дрисколла, математические задачи Рут Паркер, а также два учебных плана из Англии — SMILE (Secondary mathematics individualized learning experience — «Опыт индивидуального изучения математики в средней школе») и Points of Departure («Отправные пункты»). Задачу, которая вызвала воодушевление в данном случае, составила Рут Паркер. В ее рамках ученики должны были продолжить показанную в примере 5.1 растущую закономерность, представленную в виде кубиков, и определить, сколько кубиков будет на шаге 100. (Полные рабочие листы со всеми заданиями можно найти в приложении к этой книге.)

ПРИМЕР 5.1. ЗАДАЧА С ФИГУРАМИ

Как вы представляете себе рост фигур?

Материал предоставлен Рут Паркер; задача используется на курсах MEC (Mathematics Education Collaborative).

Ученики могли использовать кубики. Мы попросили детей работать группами, обсуждая разные идеи. Иногда группы формировали мы сами, а порой их создавали сами ученики. В день, о котором идет речь, я обратила внимание на интересную группу из троих мальчиков — самых непослушных в классе! До начала учебы в летней школе они не были знакомы друг с другом, но на протяжении большей части первой недели либо сами уклонялись от выполнения заданий, либо делали всё, чтобы отвлечь других от работы. Эти мальчишки постоянно что-то выкрикивали, когда другие писали на доске; в первые дни учебы их больше интересовало общение, чем обсуждение математических задач. На последнем занятии по математике Хорхе получил неудовлетворительную оценку, Карлос — удовлетворительную, а Люк — отличную. Но в день, когда мы дали ученикам это задание, что-то изменилось. Три мальчика трудились 70 минут, не останавливаясь, не отвлекаясь и не пытаясь уклониться от работы. В какой-то момент к ним подошли девочки и начали тыкать в них карандашами. Мальчики взяли свою работу и перешли к другому столу — настолько они были увлечены поиском решения.

Все наши уроки записывались на видео. Просматривая запись того, как эти мальчики работали в тот день, мы увидели, что они активно обсуждают числовые закономерности, визуальный рост и алгебраическое обобщение. Такая глубокая вовлеченность отчасти объяснялась тем, что мы использовали адаптированный вариант задачи. Адаптацию можно выполнять применительно к любым математическим заданиям. На уроках, когда ученикам дают задачи с функциями, обычно требуется определить значение на шаге 100 и в общем виде на шаге n. Мы начали не с этого, а с того, что попросили учеников самостоятельно поразмышлять о том, как они представляют себе рост фигуры, прежде чем переходить к групповой работе. Мы предложили им поразмышлять над этим на визуальном уровне, а не с помощью чисел, и нарисовать в своих тетрадях, где они представляют себе дополнительные кубики на каждом шаге. Мальчики по-разному увидели картину происходящего. Люк и Хорхе представили себе рост фигуры в виде прибавления кубиков к нижней части. Позже этот вариант получил в классе название «метод боулинга»: кубики расставляются, как кегли на дорожке. Карлос представил себе рост фигуры в виде кубиков, которые устанавливаются на верхушки столбцов. Этот подход стал известен как «метод дождевых капель» — кубики падают на столбцы сверху, как капли дождя с неба (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Работа учеников

Источник: Selling, 2015.

Поработав над задачей о росте функции индивидуально, ученики обсудили, кто как представляет себе дополнительные кубики на каждом шаге. Поразительно, что они связали свои визуальные методы с количеством кубиков в каждой фигуре; и не только работали со своими методами, но и находили время объяснить их друг другу и применить методы друг друга. Рост функции заинтриговал этих троих мальчиков, и они настойчиво пытались определить значение на шаге 100, вооружившись своими знаниями о визуальном росте фигуры. Мальчики предлагали друг другу идеи, наклонившись над столом и показывая свои рисунки в тетрадях. Как часто бывает в процессе решения математических задач, они перемещались зигзагами, то приближаясь к нужному решению, то отдаляясь от него, а затем снова возвращаясь к нему (Лакатос, 2010). Разные подходы позволяли им тщательно исследовать математический ландшафт.

Я показывала видеозапись работы этих мальчиков на многих конференциях для учителей. На всех произвели впечатление их мотивация, настойчивость и высокий уровень дискуссии. Учителя знают, что настойчивость, которую продемонстрировали эти мальчики, а также уважительность, с которой они обсуждали идеи друг друга, особенно в летней школе, — явление весьма необычное, и им интересно, как мы этого добились. Им знакома ситуация, когда ученики (особенно отстающие) прекращают попытки, если задача трудная и им не удается получить ответ сразу. Но в нашем случае этого не произошло; когда мальчики не смогли двигаться дальше, они вернулись к своим диаграммам и обсудили друг с другом идеи, многие из которых были ошибочными, но в итоге все же смогли найти путь к решению. Показав видеозапись этого случая учителям во время конференции, я спрашиваю их, какие элементы взаимодействия учеников могут помочь нам понять причины высокого уровня их настойчивости и вовлеченности. Ниже представлен ряд важных соображений по поводу благоприятных возможностей для повышения вовлеченности всех учеников.

1. Задача трудная, но доступная. Все три мальчика смогли понять задачу, хотя им было нелегко. Она идеально соответствовала их уровню мышления. Найти задачи, которые идеально подойдут всем ученикам, трудно, но возможно, когда мы расширяем их: приводим к виду, который я называю «низкий пол, высокий потолок». Пол низкий, потому что все могут видеть, как растет фигура, а потолок высокий, поскольку функция, которую изучали мальчики, — квадратичная, с помощью которой шаг n может быть представлен в виде (n + 1)2 блоков. Мы сделали «пол» ниже, предложив ученикам поразмышлять на визуальном уровне, хотя, как я покажу ниже, это не единственная причина для такой важной адаптации.