Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

Обратите внимание, что мы идем просто по порядку – 0, 1, 2, 3 и т. д., – перескакивая через единицу для високосного года. Так происходит в случае с 2004-м, кодом которого вместо 4 будет 5, 2005-й тогда получает код 6, а 2007-й должен бы получить 7, но, так как мы с вами работаем по модулю 7, возвращаемся обратно к 0, Поэтому код 2007-го – 1, а 2008-го (високосного) – 3.

И так далее. С помощью этой таблицы мы легко определим, что в 2025 году (это ближайший год, числовое обозначение которого является квадратом числа), день числа Пи (14 марта) придется на

День недели = 2 + 14 + 3 = 19 ≡ 5 (mod 7) = Пятница

А как насчет 1 января 2008 года? Не забудьте, что год этот – високосный, а значит, код января будет 5, а не 6. Следовательно:

День недели = 5 + 1 + 3 = 9 ≡ 2 (mod 7) = Вторник

Посмотрите еще раз на таблицу вдоль ее рядов, и увидите, что каждый раз, когда проходит 8 лет, код года повышается на 3 (по модулю 7). Например, годы в первом ряду имеют коды 0, 3, 6, 2 (двойка по модулю 7 – это та же девятка). Происходит это потому, что за период в 8 лет нам обязательно попадается два високосных года, поэтому даты смещаются на 8 + 2 = 10 ≡ 3 (mod 7).

А вот кое-что еще более интересное. С 1901 по 2099 год через каждые 28 лет календарь повторяется один в один. Знаете, почему? Из 28 лет 7 – всегда високосные, поэтому календарь смещается на 28 + 7 = 35 дней, а 35 – число, кратное 7, что и обеспечивает повторяемость дней недели (закономерность эта нарушится, если мы опустимся ниже 1900 года или поднимемся выше 2100-го, ведь в григорианском календаре они не високосные). Поэтому, просто складывая или вычитая числа, кратные 28, вы можете превратить любой год из промежутка с 1901-го по 2099-го в соответствующий ему из промежутка с 2000-го по 2027-й. Например, 1983-й имеет тот же код, что и 1983 + 28 = 2011, а 2061-й – тот же, что и 2061 – 56 = 2005.

То есть какую бы практическую задачу вы ни решали, вы можете превратить нужный вам год в один из тех, что составляют нашу таблицу, и таким нехитрым способом узнать его код. Почему, например, кодом 2017-го будет 0? Да потому что с 2000 года (имеющего код 0), календарь смещается по неделе 17 раз плюс дополнительно 4 раза за каждый високосный год – 2004-й, 2008-й, 2012-й и 2016-й. Значит, код 2017-го будет 17 + 4 = 21 ≡ 0 (mod 7). А что насчет 2020-го? Здесь у нас будет уже пять високосных годов (ведь сам 2020-й – високосный), поэтому календарь смещается 20 + 5 = 25 раз, а так как 25 ≡ 4 (mod 7), кодом 2020 года будет 4. Вот как будет выглядеть общая схема определения годовых кодов в промежутке с 2000-го по 2027-й.

Шаг 1: Возьмите две последние цифры года (в примере с 2022 годом этими цифрами будут 22).

Шаг 2: Разделите это число на 4. В результате нас интересует только целое, остаток можно проигнорировать (в нашем примере – 22 ÷ 4 = 5 с остатком 2).

Шаг 3: Сложите числа из первого и второго шагов (в нашем примере – 22 + 5 = 27).

Шаг 4: Возьмите ближайшее число, кратное 7, которое при этом будет меньше суммы, полученной после третьего шага (это может быть 0, 7, 14, 21 или 28). Вычтите его из этой суммы и узнаете код года (другими словами, сократите число из третьего шага по модулю 7: так как 27 – 21 = 6, кодом 2022 года будет 6).

Обратите внимание, что шаги с 1 по 4 работают для любого года в промежутке с 2000-го по 2099-й; можно значительно упростить себе задачу устного счета, просто вычтя на начальном этапе число, кратное 28, и получив таким образом год в промежутке с 2000-го по 2027-й. 2040 год, например, можно «упростить» до 2012, и шаги с 1-го по 4-й превращаются в элементарное 12 + 3 – 14 = 1. К тому же результату можно прийти, работая непосредственно с 2040: 40 + 10 – 49 = 1.

Алгоритм этот можно использовать не только для двухтысячных годов. Коды месяцев останутся такими же, а вот с кодами годов нужно будет сделать одну небольшую поправку. Код 1900 года будет равен 1. Следовательно, код каждого года в промежутке с 1900-го по 1999-й будет на одну единицу больше, чем их «собратья» в промежутке с 2000-го по 2099-й. То есть если код 2040-го – 1, значит, кодом 1940-го будет 2; а кодом 1922-го, например, будет 7 (ну, или 0), потому что 2022 год обозначается кодом 6. Код 1800 года – 3, 1700-го – 5, 1600-го – 0 (на самом деле на полный цикл у календаря уходит 400 лет, потому что именно четырехсотлетний период имеет 100 – 3 = 97 високосных годов, то есть ровно через 400 лет, день в день, календарь сместится на 400 + 97 = 497 дней, что даст нам абсолютно тот же день недели и то же число, ведь 497 кратно 7).

Хотите узнать, каким днем недели было 4 июля 1776 года? Сначала найдем код 2076 года, для чего вычтем 56 из 2076, а потом посчитаем код 2020-го: 20 + 5 – 21 = 4. Следовательно, код 1776 года будет 4 + 5 = 9 ≡ 2 (mod 7). Таким образом, получается, что по григорианскому календарю 4 июля 1776 года пришлось на

День недели = 5 + 4 + 2 = 11 ≡ 4 (mod 7) = Четверг

А раз так, может быть, те, кто подписывал Декларацию независимости, просто хотели успеть завершить все перед выходными?

Отступление

Под конец главы давайте я расскажу вам о еще одном волшебном свойстве числа 9. Загадайте любое число, в котором ни одна цифра не повторяется, при этом идут они от меньшего к большему. Это может быть, например, 12 345, 2358, 369 или 135 789. Умножьте это число на 9 и сложите между собой цифры. В том, что результат будет кратен 9, для нас ничего нового нет – удивительным будет то, что цифры в своей сумме дадут ровно 9. Например,

9 × 12 345 = 111 105

9 × 2358 = 21 222

9 × 369 = 3321

Фокус сработает, даже если цифры будут повторяться – главное, чтобы они шли от меньшего к большему и чтобы разряд единиц не равнялся разряду десятков. Вот, смотрите:

9 × 12 223 = 110 007

9 × 33 344 44 9 =300 100 041

Так в чем тут секрет? Давайте посмотрим, что происходит, когда мы умножаем на 9 число ABCDE, в котором A ≤ B ≤ C ≤ D < E. Так как умножать на 9 – все равно что умножать на 10 – 1, мы приходим к вычитанию

Если считать слева направо, то, с учетом того, что B ≥ A, C ≥ B, D ≥ C, а E > D, мы будем иметь дело с

а сумма цифр результата составит