Читать книгу "Математическое мышление - Джо Боулер"

3. Опишите ошибку или заблуждение, которое возникло у вас или у кого-то из одноклассников сегодня на уроке. Что вы узнали благодаря этому? _____

4. Какой подход вы или ваша группа использовали для решения задачи или ряда задач? Был ли ваш подход эффективным? Какой урок вы извлекли из этого подхода?

5. Подробно опишите алгоритм решения этой задачи, который использовал на уроке кто-то другой. Чем он был похож на ваш подход и чем отличался от него? _____

6. Какие новые слова или термины были представлены сегодня? Что, по вашему мнению, означает каждое новое слово? Приведите пример каждого слова (или нарисуйте то, что оно означает) _____

7. Вокруг чего развернулась самая серьезная математическая дискуссия на уроке сегодня? Что вы узнали из нее? _____

8. В чем сходство или различие между _____ и _____?

9. Что произошло бы, если бы вы изменили _____?

10. В чем были ваши сильные и слабые места в работе над этой темой? Как вы планируете исправить слабые места? _____

Материал предоставлен Екатериной Мильвидской и Тианой Тебельман на условиях лицензии Creative Commons Attribution 3.0.

Екатерина и Тиана, применявшие эти вопросы на протяжении двух лет, отметили положительное влияние такого подхода на учеников. Теперь они размышляют над тем, что узнали на уроке, синтезируют идеи и задают больше вопросов.

В середине каждого учебного года Екатерина и Тиана проводят среди своих учеников опрос, чтобы собрать данные и получить обратную связь о методах преподавания, в том числе новом подходе к домашним заданиям. Вот некоторые отзывы о новом формате домашних заданий.

Думаю, наш способ выполнения домашней работы очень полезен. Когда тратишь больше времени на размышления над тем, что мы изучали (письменный ответ), и меньше времени на выполнение дополнительных заданий по математике (учебник), узнаёшь намного больше.

Мне кажется, что вопросы, которые задают нам на дом, помогают мне поразмышлять над тем, что мы изучали в тот день. Если я что-то плохо помню, я могу заглянуть в свою тетрадь.

Мне правда нравится домашняя работа в этом году. Благодаря вопросам для размышления я понимаю, как выполнять задание; они помогают мне, потому что я могу вспомнить, что было на уроке в тот день.

Вопросы для размышлений мне очень помогают. Я вижу, над чем мне нужно поработать и что я делаю правильно.

Ученики говорят о том, как вопросы для размышлений помогают им изучать математику. Они вызывают гораздо меньше стресса, что всегда важно; они побуждают размышлять над серьезными идеями на концептуальном уровне, что просто бесценно. Вопросы, которые побуждают анализировать ошибки и заблуждения, особенно полезны для стимулирования самоанализа и часто помогают лучше понимать математику. Кроме того, из ответов на них учителя получают крайне важную информацию, которая может направлять их в процессе преподавания. Аналогичные вопросы можно ставить ученикам в конце урока в качестве «билетов на выход». В главе 8 я поделюсь другими идеями по поводу вопросов для размышлений.

Как было сказано в главе 1, группа PISA, которая работает в рамках ОЭСР, не только проводит тесты по математике среди учеников, но и собирает данные об убеждениях учеников и математических стратегиях. Результаты анализа данных о стратегиях, которые используют 13 миллионов учеников, свидетельствуют о том, что хуже всего с тестами справляются дети, применяющие стратегию запоминания. Самые высокие результаты получают ученики, которые придерживаются подхода, основанного на анализе важных концепций и связей между ними. На рисунке 4.4 показаны различия в результатах тестирования учеников, использующих разные стратегии.

Рис. 4.4. Математические стратегии и результаты тестов

Источник: PISA, 2012.

Лучшее, что мы можем сделать для учеников, — помочь им развить математическое мышление, понять, что суть математики — размышления, осмысление, важные идеи и связи, а не запоминание.

Превосходная методика подготовки учеников к процессу мышления и обучения (основанному на понимании связной, концептуальной природы математики) — стратегия под названием «Разговоры о числах». Это лучшая из известных мне стратегий одновременного обучения чувству числа и математическим фактам. Метод разработали Рут Паркер и Кэти Ричардсон. Это идеальное короткое обучающее упражнение, с которого учителя могут начинать урок и которое родители могут использовать дома. Необходимо поставить абстрактную математическую задачу и попросить учеников показать, как они в уме решат ее. Затем учитель собирает разные методы, которые используют ученики, и анализирует, почему они работают. Предложив ученикам найти произведение 15 × 12, учитель может выяснить, что они решили эту задачу пятью разными способами.

Ученики любят рассказывать о своих стратегиях; как правило, они увлеченно и с интересом анализируют разные методы, используемые при решении задач. Ученики осваивают ментальную математику, у них появляется возможность запомнить факты, а также формируется концептуальное понимание чисел и арифметических свойств, что крайне важно для успешного изучения алгебры и других разделов математики. Существует две книги, одну из которых написали Кэти Хамфриз и Рут Паркер (Humphreys & Parker, 2015), а другую — Шерри Пэрриш (Parrish, 2014), где представлено описание множества разговоров о числах, которые можно использовать в работе с учениками средней и начальной школы соответственно. Объяснение стратегии «Разговоры о числах» можно также найти на видео на сайте YouCubed. Это фрагмент моего онлайн-курса для учителей и родителей (https://www.youcubed.org/categorteachingideas/number-sense).

Беседы о числах — лучший из известных мне педагогических методов, позволяющих развивать у учеников чувство числа и помочь им понять гибкую и концептуальную природу математики.

Как быть с учениками постарше?

Мы много говорили о том, как обучать детей математике с помощью концептуального подхода, а также формированию представления о том, что математика — предмет, который должен быть наполнен смыслом и который можно изучать в рамках активного подхода. Лучше всего выбрать этот вариант с самого начала, но подход к математике и отношения с ней можно изменить в любое время. В следующей главе мы поговорим об учениках средней школы и взрослых, которые ненавидели математику, воспринимая ее как сугубо процедурную дисциплину. Но когда им рассказали о возможностях, обеспечиваемых мышлением роста, они начали использовать другие методы обучения. Я видела, как такие перемены происходят с учениками всех возрастов, в том числе со студентами Стэнфорда. На рисунке 4.5 показано влияние воздействия на мышление во время весеннего семестра в седьмом классе (Blackwell, Trzesniewski, & Dweck, 2007). Результаты исследований свидетельствуют, что после перехода в среднюю школу относительный уровень успеваемости учеников снижается, но у тех, на мышление которых было оказано воздействие, спад приостановился и началось повышение уровня успеваемости.