Читать книгу "Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг"

Возможно, мне трудно обосновать эту точку зрения, поскольку я сам был одним из одаренных детей. Я знал, что стану математиком, с тех пор как мне исполнилось шесть лет. Я изучал курсы, выходящие далеко за рамки моего этапа обучения, и выиграл множество медалей на математических соревнованиях. А после поступления в университет я был совершенно уверен в том, что участники математической олимпиады станут величайшими математиками моего поколения. Однако на самом деле все сложилось не совсем так. Из этой группы молодых звезд вышло много превосходных математиков, таких как Терри Тао – специалист по гармоническому анализу, получивший медаль Филдса. Однако большинство математиков, с которыми я сейчас работаю, не были членами математических кружков в тринадцатилетнем возрасте; их способности и таланты сформировались в разные периоды жизни. Так стоит ли бросать занятия математикой в средней школе?

Когда довольно много времени работаешь в математике (а я считаю, что этот урок применим и в других областях), то начинаешь понимать, что всегда есть тот, кто в чем-то тебя превосходит. Люди просто начинают смотреть на того, кто доказал хорошие теоремы; тот, кто доказал хорошие теоремы, смотрит на того, кто доказал много хороших теорем; тот, кто доказал много хороших теорем, смотрит на того, кто получил Филдсовскую премию; обладатели медали Филдса следят за теми, кто входит во «внутренний круг» медалистов, а члены этого круга всегда могут обратить свой взор на тех, кого уже с нами нет. Никто никогда не смотрит в зеркало и не говорит: «Надо признать, я лучше Гаусса». Тем не менее за последнюю сотню лет эти «болваны по сравнению с Гауссом» совместными усилиями обеспечили величайший расцвет математического знания, который когда-либо видел мир.

Математика – это по большей части коллективная область деятельности, в которой каждое открытие является продуктом огромной сети умов, работающих над достижением общей цели, даже если мы приписываем честь этого открытия человеку, который закладывает последний камень в здание этих трудов. Очень хорошо сказал об этом Марк Твен: «Требуется тысяча человек, чтобы изобрести телеграф или паровой двигатель, или фонограф, или телефон, или еще что-нибудь столь же важное, а мы приписываем изобретение последнему из них и забываем об остальных»{286}.

Это напоминает американский футбол. Безусловно, существуют моменты, когда один игрок берет под свой контроль всю игру, и эти моменты мы запоминаем, отдаем им должное и впоследствии еще долго вспоминаем. Однако такие моменты не являются нормальным режимом игры в футбол, и не благодаря им команды одерживают победы в большинстве матчей. Когда квотербек делает быстро двигающемуся ресиверу блестящий пас, завершающийся тачдауном, вы видите согласованные действия многих людей – не только квотербека и ресивера, но и лайнменов нападения, которые сдерживали атаку защитников довольно долго, чтобы квотербек подготовился и бросил мяч, а это в свою очередь стало возможным благодаря ранинбеку, который в самый критический момент отвлек внимание защитников. Кроме того, есть еще и координатор нападения, который задал тон игры, а также его помощники с планшетами в руках, и тренеры, которые поддерживают игроков в хорошем состоянии, для того чтобы они могли бегать и бросать мяч… Никто не называет всех этих людей гениями. Но они создают условия, при которых гений может реализовать себя.

Терри Тао пишет:

Популярный образ одинокого (и, может, немного сумасшедшего) гения, который игнорирует литературу и другие источники устоявшихся представлений и которому благодаря какому-то непостижимому вдохновению (возможно, усиленному мягким всплеском страдания) удается найти поразительно оригинальное решение задачи, поставившей в тупик всех специалистов, – это очаровательный и романтический образ, но абсолютно неправильный, во всяком случае в мире современной математики. Безусловно, в этой области действительно есть впечатляющие, глубокие и удивительные результаты и озарения, но они достаются тяжелым трудом и являются результатом многих лет, десятилетий или даже столетий упорной работы и успехов многих хороших и великих математиков. Переход от одного уровня понимания к следующему может быть в высшей степени нетривиальным и порой довольно неожиданным, но все же он опирается на фундамент предшествующей работы, а не начинается с чистого листа… На самом деле я считаю, что современные реалии математических исследований (когда прогресс достигается естественным образом, как следствие упорного труда, в основе которого лежит интуиция, литература и немного удачи) приносят гораздо большее удовлетворение, чем мои прежние романтические представления о математике как о науке, развивающейся в основном благодаря мистическому вдохновению некой редкой породы «гениев»{287}.

Я не утверждаю, что было бы неправильным называть Гильберта гением. Однако правильнее говорить, что гениально то, чего достиг Гильберт. Гениален не человек, гениально то, что он делает.

Политическая логика

Политическая логика – это не формальная система в том смысле, который подразумевали Гильберт и другие специалисты по математической логике, но математики с формалистским мировоззрением не могли не подходить к политике с такими же методологическими предпочтениями. К этому их призывал сам Гильберт, который в своей лекции Axiomatic Thought («Аксиоматическое мышление»), прочитанной в 1918 году, отстаивал идею о том, что другие науки также должны взять на вооружение аксиоматический подход, оказавшийся столь успешным в математике.

Например, Гёдель, теорема которого исключила возможность окончательного изгнания противоречий из арифметики, был также обеспокоен Конституцией США, которую он изучал во время подготовки к экзамену на получение американского гражданства в 1948 году. Он считал, что этот документ содержит противоречие, которое может помочь фашистской диктатуре взять страну под свой контроль абсолютно конституционным путем. Друзья Гёделя Альберт Эйнштейн и Оскар Моргенштерн умоляли его избегать этой темы на экзамене, но, как вспоминает об этом Моргенштерн, беседа закончилась так:

Экзаменатор. Итак, мистер Гёдель, откуда вы?

Гёдель. Откуда я? Из Австрии.

Экзаменатор. Какая власть действует у вас в Австрии?

Гёдель. Это была республика, но конституция была такой, что в итоге она превратилась в диктатуру.

Экзаменатор. О! Это очень плохо! В нашей стране такое невозможно.

Гёдель. Возможно, и я могу это доказать.

К счастью, экзаменатор поспешно сменил тему, и гражданство было предоставлено Гёделю надлежащим образом. Что касается характера противоречий, которые Гёдель обнаружил в Конституции США, скорее всего информация о них утрачена для истории математики. Может, это и к лучшему!{288}