Читать книгу "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир"

N Сколько простых, меньших, чем N? 1 000 168 1 000 000 78 498 1 000 000 000 50 847 534 1 000 000 000 000 37 607 912 018 1 000 000 000 000 000 29 844 570 422 669 1 000 000 000 000 000 000 24 739 954 287 740 860

Таблица 3.1.

Здорово, конечно, но на самом деле не слишком информативно. Да, простые числа истончаются. Если бы они продолжали появляться в том же темпе, что и в первой тысяче, где их 168, то в последней графе их было бы что-то около 168 000 000 000 000 000. Но там в действительности лишь одна седьмая этого значения.

Сейчас я покажу фокус, который прольет немного света на эту туманную картину. Но сначала два слова о функциях.

IV.

Двухколоночная табличка вроде таблицы 3.1 иллюстрирует понятие функции. «Функция» — одна из важнейших концепций во всей математике, вторая или третья по значимости, на мой взгляд, после «числа» и, возможно, «множества». Основная идея функции состоит в том, что некоторое число (из правой колонки) зависит от другого числа (из левой колонки) в соответствии с некоторым заданным законом или процедурой. Конкретно для таблицы 3.1 процедура такова: «Посчитать, сколько имеется простых чисел в пределах, определяемых числом в левой колонке».

Другой способ сказать то же самое таков: функция — это способ превратить (математики говорят «отобразить») число в другое число. Функция в таблице 3.1 согласно выбранной процедуре превращает, или отображает, число 1000 в число 168.

Профессиональные термины здесь таковы. Поскольку слишком утомительно постоянно произносить слова «число в левой колонке» и «число в правой колонке», математики говорят о них соответственно как об «аргументе» и «значении» (или «значении функции»). Итак, суть дела во всякой функции — это получить значение по заданному аргументу, следуя некоторому правилу или процедуре.

И еще один ключевой профессиональный термин. Бывает, что правило, на котором основано определение функции, можно применить к одним числам или к одному типу чисел, но не к другим или другому. Скажем, правило «вычесть из аргумента единицу и взять обратное число» определяет весьма уважаемую функцию — математик сказал бы, что это функция 1/(1 − x), и мы довольно плотно с ней познакомимся в главе 9.iii, — но это правило нельзя применить к аргументу 1, поскольку такая попытка повлекла бы за собой деление на нуль, чего в математике не разрешается. (Нет никакого толка спрашивать: «А что если я попробую?» Нельзя, и все. Это против правил. Если вы попытаетесь, то игра остановится и все вернется в последнюю разрешенную позицию.)

В качестве другого примера рассмотрим функцию, действующую по правилу «посчитать, сколько делителей имеет аргумент». Мы видим, что число 28 имеет шесть делителей (будем сейчас включать и тривиальные делители тоже), а 29 — только два. Значит, данная функция превращает 28 в 6, а 29 (как и любое другое простое число) в 2. Это еще одна уважаемая и полезная функция, как правило, обозначаемая как d(N). Однако эта функция осмысленна только для целых чисел — и даже только для положительных целых чисел. Сколько делителей у числа 127/8? Сколько делителей у числа π? Не спрашивайте. Эта функция — не для них.

Относящийся сюда профессиональный термин — это «область определения». Область определения какой-нибудь функции — это те числа, которые она допускает в качестве аргумента. Функция 1/(1 − x) допускает в качестве аргумента все числа, кроме 1. Функция d(N) допускает в качестве аргумента любое положительное целое число; это и есть ее область определения. Область определения функции √x — все неотрицательные числа, поскольку из отрицательных извлекать квадратный корень нельзя (впрочем, по этому поводу я оставляю за собой право передумать далее по тексту).

Некоторые функции допускают все числа в свою область определения. Функция возведения в квадрат x2, например, применима к любому числу. Любое число можно возвести в квадрат (т.е. умножить само на себя). То же верно и для полиномиальных функций (другими словами, многочленов) — т.е. функций, значения которых получаются сложением и вычитанием степеней аргумента. Примером полиномиальной функции может служить 3x5 + 11x3 − 35x2 − 7x + 4. Область определения полиномиальной функции — все числа. Это обстоятельство сыграет свою роль в главе 21.iii. Но наиболее интересные функции имеют определенные ограничения на свою область определения: или возникают какие-то значения аргумента, при которых правило не действует (обычно из-за того, что пришлось бы делить на нуль), или же правило вообще применимо только к определенному классу чисел.

Важно понимать, что табличка, подобная таблице 3.1, — это только модель функции. Сколько имеется простых чисел, меньших числа 31 556 926? Можно было бы ответить, внедряя в табличку дополнительные строки, но с учетом моего намерения удержать число страниц этой книги в некоторых разумных пределах имеется, очевидно, ограничение на то, сколько строк я могу вставить. Приведенная таблица — не более чем модель функции, ее «моментальный снимок», сделанный при определенных аргументах (выбранных с некоторым дальним прицелом).

На самом деле обычно не существует хорошего способа показать функцию во всей ее красе. Иллюстрировать какие-то конкретные свойства функции иногда помогает график, но в данном случае он достаточно бесполезен. Если вы попытаетесь изобразить содержимое таблицы 3.1 в виде графика, вы быстро поймете, что я имею в виду. Усилия по построению графика дзета-функции, которые будут предприняты в главе 9.iv, прояснят этот момент. Математики обычно получают некоторое общее представление о конкретной функции, тесно работая с ней в течение достаточно длительного времени, наблюдая при этом за всеми ее свойствами и особенностями. С помощью таблицы или графика не часто удается охватить функцию целиком.

V.

Еще о функциях надо заметить, что наиболее важные из них носят имена. А действительно важные обозначаются специальными символами. Функция, модель которой приведена в таблице 3.1, носит имя «функции числа простых чисел» и обозначается символом π(N), что читается как «пи от эн».