Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

С параболами мы сталкиваемся каждый день. Каждый раз, когда вы видите движущийся по кривой предмет, будь то летящий мяч или струя воды в фонтанчике, вы, в сущности, видите параболу (просто взгляните на картинку чуть ниже). Свойства параболы активно используются в устройстве фар, телескопов, спутниковых тарелок и многих других приборов.

Еще немного терминологии. До этого все наши примеры содержали в себе многочлены – комбинации чисел и одной переменной (скажем, x), которая может быть возведена в положительную целую степень. Наибольшую из степеней входящего в многочлен одночлена называют степенью многочлена. Например, 3x + 7 – это (линейный) многочлен первой степени. Многочлен второй степени, вроде x² + 4x – 12, называется квадратным, многочлен третьей степени (5x³ – 4x³ – √2) – кубическим. Бывают многочлены и других, бóльших, степеней (я, правда, никогда не слышал их специальных названий – главным образом, думаю, потому, что не так уж и часто они встречаются. Интересно, насколько часто используются в профессиональной литературе термины «квартический», «квинтический» и т. п. многочлены? Встречаются, наверное, но я, честно говоря, по этому поводу настроен немного скептически). А еще бывают многочлены, в которых нет переменных (например, 17) – о таких говорят, что они стоят в нулевой степени. Ну и последнее, что вам нужно знать о многочленах – это то, что многочленом не может быть сочетание с бесконечным количеством чисел. Например, 1 + x + x² + x³ +… – не многочлен, а так называемый бесконечный ряд, о которых мы поговорим подробнее в главе 12.

Обратите внимание, что в случае с многочленами степень, в которую возводятся переменные, может быть выражена только положительным целым числом – ни в коем случае не отрицательным и не дробным. То есть если вам попадается уравнение с чем-нибудь вроде y = 1/x или y = √х, это не многочлен, потому что 1/x = x–1, а √х = x½.

Корнями многочлена мы считаем такие значения х, при которых многочлен равняется 0. Например, 3x + 7 имеет один корень, а именно x = –7/3. А вот у x² + 4x – 12 два корня: x = 2 и x = –6. А x² + 9 корня (в смысле, действительного корня) не имеет вообще. Обратите внимание, что каждый многочлен степени 1 (линейный) имеет один корень в силу того, что он пересекает ось X только в одной точке, квадратный – не больше двух. Многочлены x² + 1, x² и x² – 1 имеют соответственно ноль, один и два корня.

А вот графики двух кубических многочленов, на которых вы легко заметите, что в обоих – максимум три корня.

В главе 10 мы рассмотрим основную теорему алгебры, которая гласит, что каждый многочлен, возведенный в степень n, имеет не более n корней. Более того, он может быть разложен на линейную и квадратную части. Например,

имеет три корня (1, 2 и –3). В свою очередь,

x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4)

имеет только один действительный корень – при x = 2 (и еще два комплексных, но им придется подождать до главы 10). Сегодня, кстати, очень легко можно найти график практически любой функции, просто набрав нужное вам уравнение в своем любимом поисковике. Просто напечатайте что-нибудь вроде y = (x^3 – 7x + 6)/2, и получится рисунок наподобие тех, которые представлены в этой книге.

В этой главе мы научились легко находить корни любого линейного или квадратного многочлена. А еще есть формулы для нахождения корней многочленов третьей или четвертой степеней, но они очень-очень сложные. Вывели их еще в XVI веке, а потом еще две сотни лет ведущие математики занимались поиском такого же уравнения для многочлена пятой степени. Лучшие умы бились над этой проблемой и никак не могли найти решения, пока в начале XIX века норвежский математик Нильс Абель не доказал, что создать такую формулу для пятой и более высокой степени просто-напросто невозможно. Это приводит нас к каламбуру, который считают забавным только математики: «Почему Исаак Ньютон не смог доказать теорему невозможности формулы для пятого порядка? – Потому что корни с деревьев не падают!»

Примеры доказательств невозможности чего-либо мы рассмотрим в главе 6.

Отступление

Почему x–1 = 1/x? Конкретнее, почему 5–1 = 1/5? Взгляните на такую закономерность:

5³ = 125, 5² = 25, 5¹ = 5, 50 =? 5–1 =?? 5–2 =???

Обратите внимание, что с каждым уменьшением степени на единицу число делится на 5, что имеет для нас смысл, если над этим задуматься. Ведь тогда 50 = 1, 5–1 = 1/5, 5–2 = 1/25 и так далее. Настоящая же причина этого – правило действий со степенями, согласно которому xaxb = xa+b. Лучше всего он работает, когда a и b – положительные и целые величины. Так, x² = x · x, а x³ = x · x · x. Значит,

x²x³ = (x ∙ x) ∙ (x ∙ x ∙ x) = x5

Если мы хотим, чтобы правило работало при значении степени, равном 0, необходимо, чтобы

xa+0 = xax0

а так как левая часть становится равна xa, этому же значению должна быть равна правая часть, что возможно только при x0 = 1.

Желание же применить закон к отрицательным величинам вынуждает нас признать, что

x¹x–1 = x1+(–1) = x0 = 1

Разделим обе части на x и получим, что x–1 должен равняться 1/x. По той же причине x–2 = 1/x², x–3 = 1/x³ и т. д.