Читать книгу "Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт"

• Парабола – переходная кривая между эллипсом и гиперболой, параллельная воображаемой линии, проходящей через вершину конуса и лежащей на его поверхности. Имеет только одну ветвь, уходящую в бесконечность.

Конические сечения подробно изучал Аполлоний Пергский, перебравшийся из Перги в Малой Азии в Александрию, чтобы учиться у последователей Евклида. Его главный труд, «Конические сечения», написан около 230 г. до н. э. и содержит 487 теорем. Евклид и Архимед лишь косвенно изучили некоторые свойства конусов, но пришлось написать целую книгу, чтобы собрать все теоремы Аполлония. Одна из важнейших его идей заслуживает особого внимания. Это упоминание о фокусах эллипса (либо гиперболы). Фокусы – две особые точки, характерные для этих двух фигур. Они имеют много свойств, но для нас важно одно: сумма расстояний от любой точки эллипса до обоих его фокусов есть величина постоянная (равная удвоенному большому диаметру эллипса). Фокусы гиперболы имеют то же свойство, но здесь этой же постоянной величине соответствует разница между аналогичными расстояниями.

ЧТО ГЕОМЕТРИЯ ДАЛА ИМ

Примерно в 250 г. до н. э. Эратосфен Киренский использовал геометрию для определения размеров Земли. Он заметил, что в полдень летнего солнцестояния светило находится практически прямо над Сиеной (нынешним Асуаном), поскольку его лучи падают прямо в вертикальную штольню колодца. В тот же день года тень от высокой колонны в Александрии показывает, что солнце отклонилось на 1/50 от полной окружности (около 7,2º) от вертикали. Греки знали, что Земля круглая, а Александрия расположена практически на одном меридиане с Сиеной, и, согласно геометрии, дуга окружности сферы совпадет с расстоянием от Александрии до Сиены и равна 0,02 окружности Земли.

Эратосфен знал, что верблюду нужно 50 дней на переход от Александрии до Сиены, если он будет проходить каждый день по 100 стадий. Значит, расстояние от Александрии равно 5000 стадий, а длина окружности Земли равна 250 тыс. стадий. К несчастью, мы не можем точно сказать, какова была длина стадии у древних греков. Наиболее вероятной величиной считается 157 м, т. е. окружность Земли по данным Эрастофена равна 39 250 км. Современные данные – 39 840 км.

Как Эратосфен измерил окружность Земли

С помощью конусов греки производили трисекцию угла и удвоение куба. При помощи других специальных кривых, особенно квадратрисы, они также могли найти квадратуру круга.

Древние греки внесли две основные идеи в развитие нашей цивилизации. Первая – систематизированный подход к геометрии. Используя ее как инструмент исследований, греки открыли форму и размеры нашей планеты, ее взаимодействие с Солнцем и Луной и даже сложнейшие связи с остальной Солнечной системой. Они использовали геометрию, прокладывая два туннеля с обоих концов так, чтобы они точно встречались посередине, тем самым вдвое сокращая время строительства. Они умели строить гигантские и мощные механизмы, исходя из таких простейших принципов, как закон рычага, и в мирных, и в военных целях. Они использовали геометрию для строительства кораблей и в архитектуре. Такие их постройки, как Парфенон, до сих пор показывают, что математика и красота неразрывны. Поразительная элегантность Парфенона – результат искусных подсчетов, использованных архитекторами для преодоления ограничений визуального восприятия и избавления от ошибок в самом основании, на котором построен храм.

Второй важный вклад древних греков – систематическое использование логических заключений для подтверждения формулы: то, что утверждается, может быть доказано. Эта философия породила логическую аргументацию, но свою самую убедительную форму она приобрела в геометрии Евклида и его последователей. Дальнейшее развитие математики было бы невозможным без этого прочного логического фундамента.

Новый стадион Уэмбли. В постройке использованы принципы, открытые в Древней Греции и успешно развитые за много веков

ГИПАТИЯ АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ Около 370–415 гг. н. э.

Гипатия – первая женщина-математик, о которой упоминается в письменных источниках. Она была дочерью Теона Александрийского, тоже математика, и, скорее всего, училась у него. К 400 г. н. э. она возглавила александрийскую школу неоплатонистов и преподавала там философию и математику. Многие исторические источники подтверждают ее учительский талант.

Мы не знаем, насколько талантлива была Гипатия как математик, но она помогла Теону написать комментарии к «Альмагесту» Птолемея, а также участвовала в подготовке новой редакции «Начал», на которой основаны все последующие издания этой книги. Ее перу принадлежат комментарии к «Арифметике» Диофанта и «Коникам» Аполлония Пергского.

Среди слушателей Гипатии оказалось много последователей новой тогда религии – христианства; в их числе был и Синезий Киренский. Сохранились некоторые его письма к Гипатии с искренними похвалами ее способностям. К несчастью, многие ранние христиане воспринимали философию и науку, преподаваемые Гипатией, как язычество и были недовольны ее влиянием на учеников. В 412 г. у недавно избранного патриарха Александрии Кирилла возникли разногласия с римским префектом Орестом. Гипатию с Орестом связывала тесная дружба, а ее преподавательский и ораторский дар расценили как прямую угрозу христианству. Ученую, обвиненную в разжигании охватившей Александрию смуты, растерзала толпа религиозных фанатиков. Но некоторые источники утверждают, что Гипатия слишком увлеклась политикой и сама навлекла на себя гнев толпы.

Ее гибель была ужасной: женщину буквально расчленили самым варварским способом, используя осколки черепицы (по некоторым источникам – раковины устриц). Затем ее останки сожгли. Возможно, Гипатию обвинили в колдовстве, и тогда это первая публичная казнь ведьмы толпой фанатичных христиан, ведь по закону Константина II ведьму полагалось казнить, «разрывая кости железными крюками».

Оба эти вклада не утратили значения и по сей день. Современное инженерное искусство – компьютеризированное проектирование и производство, например, – невозможно без солидной базы геометрических принципов, открытых в Древней Греции. Любое здание строится так, чтобы не развалиться под своим весом, а многие даже способны выстоять при землетрясениях. Кирпичная башня, подвесной мост, футбольное поле – очередная дань геометрии древних греков.

И рациональное мышление, и логические аргументы по-прежнему существуют. Наш мир стал слишком сложным и потенциально слишком опасным, чтобы принимать решения скорее исходя из своих убеждений, чем из реального положения дел. И научный метод был выстроен так тщательно именно для того, чтобы преодолеть глубоко сидящее в нас желание верить, будто то, что мы якобы знаем и что нас устраивает, истинно. В науке особое внимание как раз направлено на то, чтобы доказать ошибочность таких глубинных убеждений. И только те идеи, что устояли перед самыми жестокими попытками их развенчать, могут быть признаны близкими к правде.