Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

Отступление

Почему f(x) = ex соответствует f'(x) = ex? Смотрите, в чем секрет. Сначала обратите внимание на то, что

Вспомним, что е, по сути, есть

что означает, что с увеличением n значение члена (1 + 1/n)n будет все ближе и ближе подходить к e. Теперь предположим, что h = 1/n. При очень большом значении n h = 1/n находится очень близко к 0. Следовательно, при h, близком к 0,

e ≈ (1 + h)1/h

Возведя обе части в степень h (и помня, что (ab)c = abc), получаем

А есть ли еще такие функции, которые равны своим производным? Есть. Но все они сводятся к y = cex, где c заменяется любым действительным числом (в том числе и 0, который превращает функцию в постоянную y = 0).

Не так давно мы выяснили, что при сложении функций производная суммы равна сумме производных. А что насчет умножения? Увы, но производная произведения не равна произведению производных. Тем не менее посчитать ее не очень сложно – для этого достаточно воспользоваться несложной теоремой.

Теорема (правило дифференцирования произведения функций): Если y = f(x)g(x), то

y' = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)

Например, согласно правилу дифференцирования произведения, чтобы продифференцировать y = x3ex, нам нужно взять f(x) = x³ и g(x) = ex. В результате у нас получится

y' = f(x)g'(x) + f'(x)g(x) = x3ex + 3x2ex

Обратите внимание, что при f(x) = x3 и g(x) = x5 их произведение, согласно тому же правилу, составит x3x5 = x8. Производная же будет выглядеть как

y' = x3(5x4) + 3x2(x5) = 5x7 + 3x7 = 8x7

что полностью соответствует правилу дифференцирования степенной функции.

Отступление

Доказательство (правило дифференцирования произведения функций): Предположим, что u(x) = f(x)g(x). Тогда

А дальше творим истинно математическое волшебство – добавляем к числителю 0, но не привычным способом, а с помощью прибавления и вычитания f(x + h)g(x):

Так как h → 0, в результате имеем f(x)g'(x) + f'(x)g(x), что и требовалось доказать.◻

Но доказанное правило полезно не только в этом конкретном случае – с его помощью можно найти производные других функций. Мы уже доказали, что правило дифференцирования степенной функции верно при положительных значениях показателя степени. Давайте посмотрим, как оно поведет себя при дробных и отрицательных значениях.

Например, согласно правилу дифференцирования степенной функции

Сможем ли мы доказать его с помощью правила дифференцирования произведения? Предположим u(x) = √x. Тогда

u(x) u(x) = √x √x = x

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u(x) u'(x) + u'(x) u(x) = 1

Следовательно, как мы и предполагали.

Отступление

Правило дифференцирования произведения при отрицательных значениях степени гласит, что y = x−n будет иметь производную Чтобы это доказать, возьмем u(x) = x−n, где n ≥ 1. Согласно определению, при x ≠ 0

u(x)xn = x–nxn = x0 = 1

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u(x)(nxn−1) + u'(x)xn = 0