Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

А. Чуть больше пары сантиметров.

Б. Достаточной, чтобы под ней можно было проползти.

В. Достаточной, чтобы под ней можно было пройти в полный рост.

Г. Достаточной, чтобы под ней мог проехать грузовик.

Вопрос 2. Две точки окружности – X и Y (см. рисунок) – соединяют две дуги: длинная и короткая. Допустим, что на большей (то есть длинной) дуге мы хотим поставить третью точку Z. Где именно она должна находиться, чтобы угол ∠XZY был как можно больше?

А. В точке A (ровно напротив середины расстояния между XY).

Б. В точке B (являющейся отражением точки X по линии, проходящей через центр круга).

В. В точке С (лежащей настолько близко к точке X, насколько возможно).

Г. Где угодно, потому что все углы будут абсолютно равны.

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно разобраться в особенностях геометрии окружностей. Впрочем, если вам все это кажется смертельно скучным, можно вполне обойтись и так: ответом на первый вопрос будет вариант Б, на второй – вариант Г. Но разве вам интересно глотать пищу, не чувствуя ее вкуса? Так вот, особенности геометрии окружностей и есть тот самый вкус.

Любая окружность может быть выражена двумя понятиями – точкой O и положительной величиной r, причем точка O равноудалена от остальных точек окружности на расстояние, равное r (см. рисунок ниже). Точка O называется центром окружности. Расстояние r – радиусом окружности. А еще радиусом для удобства называется отрезок OP, проведенный от точки O к лежащей на линии круга точке P.

Длина окружности и ее площадь

Диаметр окружности – это величина D, обозначающая расстояние между двумя максимально удаленными друг от друга точками окружности и определяющаяся как его удвоенный радиус. То есть

Периметр окружности (то есть расстояние, пройденное по кругу от некой точки до нее же) называется ее, окружности, длиной (или периферией) и обозначается буквой C. На рисунке хорошо видно, что C длиннее, чем 2D, потому что идти по полукругу от точки P к точке Q придется явно дольше, чем напрямик по D, равно как и обратный путь от точки Q к точке P по другому полукругу займет больше времени. Следовательно, C > 2D. А раз уж мы заметили это, почему бы нам не заметить, что C даже немного длиннее, чем 3D. Правда, для того, чтобы наша уверенность была стопроцентной, придется надеть 3D-очки… (извините, не сдержался ☺).

На самом деле для того, чтобы сопоставить длину окружности с ее диаметром, нам нужно «распрямить» круг, измерить получившуюся линию, а потом разделить результат на диаметр. И вы с удивлением обнаружите, что, независимо от того, измеряете вы монетку, дно стакана, тарелку или гимнастический круг, у вас всегда получится

C/D ≈ 3,14

Число π определяется как постоянная величина, представляющая собой соотношение длины круга к его диаметру. То есть

π = C/D

И π остается неизменным для абсолютно любой окружности! Если хотите, можете преобразовать эту формулу для подсчета длины окружности: зная диаметр D или радиус r той или иной окружности, вы можете просто посчитать

C = πD

или

C = 2πr

Цифровое выражение π начинается с

π = 3,14159…

Чуть позже мы узнаем, что идет дальше, после 9, а заодно обсудим некоторые свойства этого числа.

Отступление

Определить длину окружности «на глазок» не так-то легко. Испытайте себя – возьмите высокий стакан и постарайтесь прикинуть, что больше: его высота или длина окружности? Уверен, большинство проголосует за высоту… и почти наверняка вы окажетесь неправы: чаще всего больше будет именно длина окружности. Не верите? Проверить достаточно легко: просто измерьте большим и указательным пальцами диаметр стакана и трижды отложите этот отрезок вдоль его стенки.

Теперь можно смело отвечать на первый из двух вопросов, заданных в начале главы. Если мы представим экватор в виде идеального круга с длиной окружности, равной 40 075 км, его радиус составит

Но значение радиуса не так уж для нас и важно – куда важнее знать, насколько увеличится этот радиус, если к длине окружности прибавится три метра – совсем ненамного, примерно на 3/2π ≈ 0,5 метра. Следовательно, под веревкой окажется достаточно места, чтобы проползти, но недостаточно, чтобы пройти в полный рост (если, конечно, вы не танцор лимбо[21]).

Но самым удивительным здесь будет не столько сам ответ, сколько тот факт, что полученные нами 0,5 м ни капельки не зависят от изначальной длины окружности – вы придете к тому же результату независимо от того, обвязываете ли вы веревкой Землю, Юпитер, Плутон или теннисный мячик. Например, радиус круга с длиной окружности, равной 15 м, составит 15/(2π) ≈ 2,38. Прибавив 3 метра, получим новый радиус 18/(2π) ≈ ≈ 2,86, который будет больше старого примерно на 0,5 метра.

Отступление

А вот еще один очень важный факт из геометрии окружностей.

Теорема: Предположим, что точки X и Y лежат на окружности строго друг напротив друга. Тогда при любом положении третьей точки P ∠XPY = 90°.

На рисунке, например, хорошо видно, что углы ∠XAY, ∠XBY и ∠XCY являются прямыми.

Доказательство: Проведем линию радиуса из точки O к точке P. Положим ∠XPO = x, а ∠YPO = y. Наша цель – показать, что x + y = 90°.