Читать книгу "Математика для гиков - Рафаель Роузен"

Гипотезы Тейта

Математик XIX века Питер Гатри Тейт создал классификацию узлов, согласно количеству их пересечений. Он также выдвинул три гипотезы, включая альтернирующие узлы (при проходе такого узла пересечения чередуются «сверху» и «снизу»), хиральные узлы (они не эквивалентны своему зеркальному отражению) и число закрученности (геометрическая величина, которая описывает зацепления в узлах). Все три гипотезы не так давно были доказаны.

1.9. Что скрывает карта метрополитена?

Математическое понятие: топология

Посмотрите на карту метро любого города в мире. Что вы видите? В отличие от атласов, в которых показывается каждый поворот и изгиб дороги, карта метро выглядит довольно просто. Она состоит из прямых линий, окружностей и кривых. (Для примера откройте карты метро Лондона, Бостона или Вашингтона.) Однако поезда метро редко следуют таким совсем не сложным маршрутам: поезда проезжают целую серию препятствий на пути от одной станции до другой. Но несмотря на такое расхождение, карта метро все равно помогает путешественникам в навигации. Как так получается, что эти карты выбрасывают такое количество информации и все равно остаются полезными?

Ответ скрывается в области математики, которая известна как топология. Топология связана с геометрией и изучает то, как формы меняются, когда их растягивают, сжимают, тянут, перекручивают или искажают. (Слово «топология» от греческого «место», «учение».) Однако изменения, изучаемые топологией, должны подчиняться правилу: изменения не должны нарушать оригинальную целостность фигуры. Например, фигуры, которые были порезаны или приклеены друг к другу, не могут считаться допустимыми предметами для топологического изучения. С другой стороны, создаются новые формы, когда вы до конца натягиваете резинку, скручиваете ее в шар или перекручиваете в форму кренделя – все это допустимо. Вкратце, в топологии вы должны быть способны вернуть новую форму в ее первоначальное состояние за одно непрерывное движение. Если вы можете это сделать, то с точки зрения топологии эти две формы эквивалентны.

Теперь отношение карты метро и настоящего маршрута поездов становится ясным. Карта метро – это топологическая трансформация физического маршрута подземки. В некотором смысле карта показывает версию маршрута поездов, которая была растянута и разглажена, будто она сделана из жвачки для рук. Согласно топологии, две формы – схема метро и маршрут, который в действительности существует в системе общественного транспорта, – идентичны.

Самое большое метро в мире

Шанхайское метро в Китае является самым длинным метро, судя по длине маршрутов, его пути имеют протяженность более 330 миль. Но метро Нью-Йорка имеет самое большое количество остановок в мире – 468 станций.

1.10. Оригами

Математические понятия: геометрия, топология

Оригами – это японское искусство складывания фигурок из бумаги, в Соединенных Штатах оно является времяпрепровождением для детей. Многие из нас видели журавлей, стаканчики и шарики, заполненные воздухом, из бумаги. Но немногие подозревают, что оригами тесно связано с математикой.

Одним захватывающим свойством оригами является умение выйти за рамки традиционной математики, особенно геометрии. Используя лишь сложенную бумажку, человек может поделить угол на три равные части, это задание неподвластно циркулю и линейке в традиционной геометрии. Человек может также использовать оригами, чтобы удвоить куб, это еще одна задача, с которой геометрия справиться не может. (Удвоение куба – это проблема, которой занимались еще в Древнем Египте и Греции. Чтобы удвоить куб, нужно было создать куб, объем которого был бы вдвое больше объема заданного куба. Такую процедуру невозможно закончить, так как сторона большего куба будет равна кубическому корню из 2, а эту длину нельзя построить с помощью циркуля и линейки.)

На самом деле, математическое изучение оригами привело к созданию своих геометрических аксиом, совокупности принципов и определений, похожих на те, что изучал Евклид, известный математик, который жил в Греции более 2000 лет назад. Эти семь принципов известны как правила Фудзиты; они описывают все варианты получения одной новой складки на листе бумаги. Математика в оригами также привела к теореме Кавасаки, которая гласит, что в совокупности углов, которые исходят из одной точки, сумма переменных углов равна 180 градусам.

Сам предмет изучения оригами часто является математическим, помимо того что он становится практически независимой математической областью, которая имеет свои аксиомы и доказательства. Некоторые люди создают трехмерные фигуры из модульных компонентов оригами, которые имеют форму треугольников или пятиугольников. Некоторые люди делают оригами-версию платоновых тел, пяти правильных многогранников (это трехмерные фигуры, у которых все грани являются правильными многоугольниками). Другие же создают гиперболические параболоиды, имеющие форму седла и напоминающие нечто среднее между квадратом и бабочкой. И наконец, некоторые используют оригами, чтобы доказать теорему Пифагора.

В некотором смысле оригами и математика, кажется, делят одну ДНК. И нет ничего лучше, чем создавать что-то своими руками, чтобы лучше понять какое-то математическое понятие. Забудьте о карандашах и графиках, попытайтесь найти математику в складывании листов бумаги!

Праздничное дерево с игрушками-оригами

Каждый год в сотрудничестве с организацией OrigamiUSA Американский музей естественной истории создает Праздничное дерево, украшенное фигурками оригами. На елку вешают примерно 800 фигурок. В 2014 году тема основывалась на фильмах «Ночь в музее», поэтому среди фигурок можно было найти Теодора Рузвельта, Тираннозавра Рекса и статую с острова Пасхи.

1.11. Математика скрывается за запутанными наушниками

Математическое понятие: теория узлов

Это один из раздражителей современного мира. Вы ищете в кармане или сумке свои наушники и видите, что они спутаны в какой-то невообразимый узел, который невозможно распутать. Вы достаете садовый шланг из подвала – и смотрите-ка – он каким-то образом превратился в узел. Вы достаете из упаковки рождественскую светодиодную гирлянду, которая лежала на чердаке, и обнаруживаете сплошной ком из узлов. Почему так много вещей в нашей жизни постоянно запутываются, несмотря на наши попытки всеми способами избежать этого?