Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

Отступление

Доказательство: Допустим, что число p = 2n – 1 – простое. Докажем теперь, что число 2n–1p – совершенное. Какие величины являются его собственными делителями? Сначала – делители, которые не используют множитель p: 1, 2, 4, 8…., 2n–1. Все они сводятся к сумме 2n – 1 = p. Потом – все остальные (за исключением самого 2n–1p), которые включают в себя множитель p и которые дают в сумме p(1 + 2 + 4 + 8 +… + 2n–2) = p(2n–1 – 1). Следовательно, общая сумма всех собственных делителей составит

p + p(2n–1 – 1) = p(1 + (2n–1 – 1)) = 2n–1p

что и требовалось доказать.

Великий Леонард Эйлер доказал, что каждое четное совершенное число может быть сведено к этой форме. Именно это представление помогло определить 48 совершенных четных чисел. Существуют ли в принципе среди совершенных чисел нечетные, не знает никто. Доказано, что если и существуют, то наименьшее из них состоит из более чем трех сотен цифр. Несуществование же их пока что так и не доказано.

С простыми числами связано множество нерешенных математических проблем. Одну из них я уже упоминал: неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел Фибоначчи (если помните, мы выяснили, что во всей последовательности всего лишь два полных квадрата чисел – 1 и 144 – и столько же кубов – 1 и 8).

Еще одна проблема – известная как гипотеза Гольдбаха – основана на предположении, что любое четное число больше 2 есть сумма двух простых чисел. Доказать этого никто не смог, однако известно, что, если контрпример и существует, в нем должно быть никак не меньше 19 цифр. (Совсем недавно, в 2013 году, в решении очень похожей проблемы произошел прорыв: перуанец Харальд Хельфготт доказал, что любое нечетное число больше 7 есть сумма как максимум трех нечетных простых чисел.)

А еще есть простые числа-близнецы (парные простые числа) – простые числа, разность между которыми составляет ровно 2: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и так далее. Единственные «тройняшки» в этом ряду – это 3, 5 и 7. И хотя было доказано (в качестве частного случая теоремы Густава Дирихле[18], что количество простых чисел, заканчивающихся на 1 (а также на 3, 7 или 9), бесконечно, вопрос о том, бесконечно ли количество простых чисел-близнецов, остается открытым.

Закончить эту главу я бы хотел доказательством, которое может показаться вам притянутым за уши (да что уж греха таить, именно за уши оно и притянуто). Тем не менее смею надеяться, что оно вас все-таки удовлетворит.

Утверждение: Все положительные целые величины интересны.

Доказательство: Вы, без сомнений, согласитесь, что первые положительные числа не оставляют вас равнодушными. Например, 1 – это самое первое положительное число, 2 – первое четное положительное число, 3 – первое нечетное простое число… Предположим обратное – что совсем не все числа так уж интересны. Тогда есть некая самая первая навевающая скуку величина. Назовем ее N. Но разве самого этого факта недостаточно, чтобы сделать N отличной от всех остальных величин и хотя бы уже поэтому интересной? И разве не доказывает это, что «скучных» чисел попросту не бывает?

Глава номер семь

Магия геометрии

Неожиданные грани геометрии

Начнем, пожалуй, с одной геометрической задачки, которая вполне сойдет за фокус. Возьмите листок бумаги и сделайте следующее.

Шаг 1. Начертите фигуру из четырех не пересекающихся друг с другом линий. Должен получиться четырехугольник. Подпишите углы по часовой стрелке литерами A, B, C и D. Вот несколько возможных примеров:

Шаг 2. Отметьте центральные точки сторон AB, BC, CD и DA буквами E, F, G и H соответственно.

Шаг 3. Соедините эти точки пунктирными линиями так, чтобы получился еще один прямоугольник, EFGH, вот так:

Хотите – верьте, хотите – нет, но он всегда будет параллелограммом. Другими словами, линия EF будет параллельна линии GH, а линия FG – линии HE (при этом сторона EF будет той же длины, что и сторона GH, а сторона FG – той же длины, что и сторона HE). На рисунках выше это отлично заметно, но мне очень хочется, чтобы вы сами все это начертили.

Геометрия скрывает в себе множество подобных сюрпризов. Несложные предположения, незамысловатые логические ходы – и вот вам удивительный результат.

Хотите проверить свою интуицию? Давайте проведем небольшую, но очень увлекательную викторину: одни ответы покажутся вам вполне очевидными, а другие – поразят, даже если вы прекрасно разбираетесь в геометрии. Начнем?

Вопрос 1. Некий фермер решил обнести изгородью прямоугольную территорию с периметром 16 метров. Чему должны быть равны стороны этого участка, чтобы его площадь была максимальной?

А. Он должен быть квадратным (то есть его длина и ширина должны быть равны 4 м).

Б. Соотношение сторон участка должно соответствовать принципу золотого сечения и составлять 1,618 (то есть примерно 5,25 на 3,25 м).

В. Длина участка должна быть максимальной (8 м).

Г. Во всех трех вышеперечисленных вариантах площадь будет одинаковой.

Вопрос 2. Есть две параллельные прямые (см. рисунок ниже). На нижней лежат точки X и Y. Наша задача – поместить на верхней прямой третью точку так, чтобы получившийся между ней, X и Y треугольник имел наименьший периметр. Какую точку следует выбрать?

А. Точку А (расположенную точно посередине между X и Y, чтобы прямоугольник получился равнобедренным).

Б. Точку B (расположенную точно над X или над Y, чтобы треугольник получился прямоугольным).

В. Точку С (расположенную как можно дальше от X и Y).

Г. Любую, потому что все треугольники будут иметь одинаковый периметр.