Читать книгу "Большой роман о математике. История мира через призму математики - Микаэль Лонэ"

Но сегодня нет времени для прогулок. Я сажусь в метро и направляюсь в сторону квартала Шато-Гомбер, на север города. Здесь расположен Центр изучения математики и информатики (ЦМИ), в котором я работаю вот уже четыре года. Здесь занимаются исследованиями около ста математиков. Придя на рабочее место, я последний раз просматриваю свой материал. Три широких полукруглых контейнера, заполненных разноцветными шариками, и стопка бумаг, на последней из которых написано:

Сегодня мой последний день в ЦМИ. В 14 часов я буду защищать докторскую диссертацию.

Годы, проведенные за написанием докторской диссертации – это уникальное время в жизни любого ученого. Оставаясь формально в статусе учащихся, аспиранты не посещают занятия и не сдают экзамены. На самом деле наши будни больше напоминают жизнь ученых. Чтение последних статей, обмен мнениями с другими математиками, участие в семинарах, затем развитие в своей области исследований, выдвижение предположений, формулирование новых теорем и их последующее доказательство. Все это происходит под руководством опытного математика, ответственного за содействие в соискании научной степени. Мой научный руководитель – математик французско-хорватского происхождения Влада Лимик – помогает мне в проведении исследований на протяжении последних четырех лет. Ее работы, как и предмет моего исследования, относятся к подразделу математики, появившемуся в середине XVII в. и получившему название «теория вероятностей».

Для того чтобы понять проблематику этой дисциплины, нам снова придется погрузиться в глубь истории. Спустя 14 часов, покинув здание ЦМИ, позвольте мне проводить вас в увлекательный мир вероятностей. Случайность событий уже давно волнует умы человечества. С доисторических времен люди были свидетелями многих необъяснимых природных явлений, происходивших периодически без видимых причин. Первоначально, за неимением лучшего объяснения, эти события объяснялись волей богов. Затмения, радуга, землетрясения, эпидемии, паводки или появление комет интерпретировались как божественные послания, которые могут быть расшифрованы. Эта задача была возложена на колдунов, оракулов, священников или шаманов, которые зарабатывали на жизнь тем, что проводили многочисленные ритуалы, чтобы обратиться к богам, не дожидаясь, пока они соизволят сами проявить себя. Другими словами, люди начали искать способы влияния на наступление случайных событий.

Беломантия, или искусство гадания с помощью стрел, – это один из старейших способов принятия решения. Прикрепите к каждой из стрел один из вариантов ответа на вопрос, который вы задаете вашему богу, поместите их все в колчан, встряхните его и затем вытяните одну – это и будет ответ. Таким образом, например, поступил Навуходоносор II, царь Вавилона, когда выбирал врагов, которым он объявил войну в VI в. до н. э. Кроме стрел, выбираемые объекты могут принимать различные формы: цветные камешки, плитки, стержни или шарики. Древние римляне дали этим объектам название «жребий».

От этого слова происходит выражение «бросить жребий», а также слово «колдовство[20]», которое первоначально означало вмешательство человека в волю богов. Постепенно увеличивалось количество механизмов случайного выбора, которые приобрели множество различных форм. Жребий использовался в некоторых политических системах, таких как, например, в Афинах, чтобы выбрать пятьсот граждан, которые будут заседать в буле, или, несколько столетий спустя, в Венеции, для избрания дожей. Случайность наступления событий будет также отличным источником вдохновения для создателей игр. Так появились игра «орел или решка», игральные кости в форме Платоновых тел, а также карточные игры.

Именно благодаря появлению азартных игр, управляемых волей богов, в итоге ряд математиков заинтересовались данным вопросом. Они начали изучать вероятность наступления тех или иных случайных событий в будущем.

Все началось в середине XVII в., когда в 1635 г. математик и философ Марен Мерсенн основал Парижскую академию наук, которая впоследствии была преобразована во Французскую академию наук. Однажды в ходе дискуссии между учеными из разных слоев общества, писатель Антуан Гомбо, занимавшийся математикой в свободное время, поднял интересовавший его вопрос. Представим ситуацию, когда два игрока поставили на кон определенную сумму денег и после трех раундов счет оказался равным 2: 1 в пользу первого игрока. Если при таком счете они решают не продолжать игру, то в какой пропорции должен быть разделен игровой банк?

Среди присутствовавших в тот день ученых данным вопросом заинтересовались двое французских математиков, Пьер де Ферма и Блез Паскаль. После короткого обсуждения оба пришли к выводу, что три четверти банка должны вернуться к первому игроку, а оставшаяся четверть – ко второму. Чтобы прийти к такому выводу, ученые проанализировали все возможные сценарии развития игры, оценивая шансы каждого из игроков. Таким образом, гипотетически в следующем раунде первый игрок будет иметь 50 %-ный шанс выиграть игру, в то время как второй игрок будет иметь 50 %-ную вероятность сравнять счет. И если счет будет сравнен, в последующем раунде у игроков окажутся равные шансы на победу, т. е. вероятность каждого на победу будет равна 25 %. Можно схематично изобразить это на следующей схеме:

Таким образом, мы видим: вероятность победы первого игрока 75 %, второго – 25 %. Вывод, сделанный Паскалем и Ферма, заключается в том, что необходимо поделить игровой банк в соответствии с вероятностью победы: первый игрок – 75 %, а второй – оставшиеся 25 %.

Рассуждения французских ученых лягут в основу дальнейших исследований в этой области. Такой подход применим к большинству азартных игр. Швейцарский математик Якоб Бернулли был одним из первых, кто стал заниматься исследованиями в этой области и в конце XVII в. написал книгу под названием «Искусство предположений» (итал. Ars Conjectandi), опубликованную только после его смерти в 1713 г. В этой книге он привел анализ традиционных азартных игр и впервые сформулировал один из основополагающих принципов теории вероятности: закон больших чисел.

Этот закон подтверждает, что чем больше раз будет повторяться описанный выше прием, тем более точным окажется определение вероятности, стремящееся к своему пределу. Иными словами, если продолжать эти рассуждения в долгосрочной перспективе, средние значения перестают быть случайными.

Понять это явление очень несложно. Закон больших чисел можно разобрать на примере игры «орел или решка». Если монета сбалансирована, то вероятность выпадения одной из двух сторон равна 50 %, что может быть представлено на следующей гистограмме.