Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

Каждое пятое число последовательности кратно 5

Каждое шестое число последовательности кратно 8

Каждое седьмое число последовательности кратно 13

и закономерность продолжается.

А что насчет чисел, следующих друг за другом? Есть ли между ними что-то общее? Что интересно – в каком-то смысле ничего общего между ними нет. И мы можем это продемонстрировать. Пары чисел, находящихся рядом в последовательности

(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 8), (8, 13), (13, 21), (21, 34)…

называются взаимно простыми, что означает, что нет числа, большего чем 1, на которое они оба делятся. Если мы возьмем для примера последнюю из перечисленных выше пар, мы увидим, что 21 делится на 1, 3, 7 и 21, а 34 – на 1, 2, 17 и 34. То есть у 21 и 34 только один общий делитель – 1. Как убедиться, что эта закономерность повторяется? Откуда нам знать, что числа следующей пары (34, 55) – непременно взаимно простые? Для этого необязательно искать все делители для 55. Пойдем от обратного: предположим, что есть некое число d > 1, на которое и 34, и 55 делятся без остатка. Но тогда на него должна делиться без остатка и их разность: 55 – 34 = 21 (если два числа кратны третьему, их разность тоже будет ему кратна), что невозможно: ведь мы уже знаем, что нет такого d > 1, на которое можно было бы разделить и 21, и 34. Раз за разом применяя это доказательство, мы придем к выводу, что все числа последовательности Фибоначчи, образующие пары по принципу ближайшего соседства, являются взаимно простыми.

А теперь – мой самый любимый факт о числах Фибоначчи. Он касается наибольшего общего делителя (НОД). Наибольший общий делитель двух чисел есть наибольшее число, на которое делятся оба эти числа. Например, для 20 и 90 НОД равен 10. Обозначается это как

НОД(20, 90) = 10

Как вы думаете, каким будет наибольший общий делитель двадцатого и девяностого чисел последовательности Фибоначчи? Ответ звучит как поэзия: 55 – десятое число последовательности Фибоначчи! А вот уравнение:

НОД(F20, F90) = F10

Или в общем виде, для значений m и n:

НОД(Fm, Fn) = FНОД(m; n)

Другими словами, «НОД значений F есть значение F НОДа»! Подробно останавливаться на этом мы здесь не будем, но и пройти мимо я не мог.

Иногда закономерность может оказаться обманчивой. Какие, например, из чисел Фибоначчи являются простыми? (Простые – это числа больше 1, которые при этом делятся без остатка только на 1 и на самих себя, мы поговорим о них подробнее в следующей главе.) Числа больше единицы, не являющиеся простыми, называются составными, потому что их можно разложить на неделимые простые составляющие. Вот несколько первых простых чисел последовательности Фибоначчи:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

А теперь взгляните на числа, стоящие на «простых» позициях:

F2 = 1, F3 = 2, F5 = 5, F7 = 13, F11 = 89, F13 = 233, F17 = 1597

Числа 2, 5, 13, 89, 233 и 1597 – простые. Закономерность вроде бы говорит нам о том, что, если значение p > 2 является простым, простым будет и Fp. Однако следующий же элемент последовательности эту закономерность нарушает: F19 = 4181 – уже составное число, потому что 4181 = 37 × 113. Но верно и то, что каждое простое число больше 3 стоит в последовательности Фибоначчи на «простой» позиции. Это следует из одной из уже рассмотренных закономерностей. F14 должно быть составным, поскольку каждое седьмое число последовательности кратно F7 = 13 (и правда: F14 = 377 = 13 × 29).

На самом деле простые числа Фибоначчи встречаются редко – пока что официально подтверждено лишь 33, наибольшее из них занимает F81839 позицию. И это притом, что вопрос, является ли количество простых чисел в последовательности бесконечным, еще не решен.

Но отвлечемся немного от серьезных научных изысканий и займемся небольшим, но забавным фокусом, основанным на магии чисел Фибоначчи.

В 1 и 2 рядах таблицы напишите два любых числа от 1 до 10. Сложите их, а сумму запишите в 3 ряду. Затем сложите числа из 2 и 3 рядов. Результат запишите в 4 ряд. Продолжайте так делать (ряд 3 + ряд 4 = ряд 5 и т. п.), пока не дойдете до конца таблицы. У вас получится свой вариант последовательности Фибоначчи. А теперь разделите число из 10 ряда на число из 9 ряда. Из результата вам нужны первые три цифры, включая те, которые идут после запятой. В нашем примере из них оставляем 1,61. Хотите – верьте, хотите – нет, но, с каких бы двух положительных (необязательно целых и даже необязательно из промежутка от 1 до 10) чисел в 1 и 2 рядах вы ни начали, частным при делении числа 10 ряда на число 9 ряда всегда будет 1,61. Попробуйте сами разок-другой и легко в этом убедитесь.

Чтобы разобраться в природе этого фокуса, обозначим первые два числа литерами x и y. Тогда, следуя методу Фибоначчи, получаем x + y в 3 ряду, y + (x + y) = x + 2y в 4-м и т. д. по таблице:

Требуется найти частное чисел 10 и 9 рядов:

Почему же результат всегда будет начинаться с 1,61? Вы удивитесь, но в основе этого лежит неправильное сложение дробей. Допустим, у нас есть две дроби: a/b и c/d, причем знаменатели b и d – положительные величины. Что будет, если сложить между собой сначала числители, а потом знаменатели? А будет то, что получившееся в результате число, называемое медиантой, всегда будет где-то между двух исходных дробей. То есть при любых дробях a/b < c/d, знаменатели которых суть положительные величины, имеем