Читать книгу "Криптографические приключения. Таинственные шифры и математические задачи - Роман Душкин"

Здравый смысл подсказывал, что надо определить опорные точки, и самым простым решением было взять в качестве них населённые пункты. Однако оказалось, что на старом плане нет некоторых сёл и деревень, а также есть одно или два, которых нет на современной карте. Так что пришлось ограничиться только теми, которые есть на обеих картах. Папа назвал это «пересечением множеств», а потом пояснил, что в пересечение двух множеств входят те и только те элементы, которые принадлежат обоим множествам.

Я спросил отца:

— Скажи, зачем мы должны наложить план на карту? Какой в этом смысл?

Отец взял распечатку плана, расправил её, а потом указал карандашом на точку немного восточнее нашего села. Около точки была написана буква «Ять», вернее, какой-то знак, похожий на эту букву. У меня внутри всё сжалось от предчувствия. Я поднял голову и посмотрел на отца.

— Неужели этот план нарисован той же рукой, которая писала расшифрованное нами послание?

Отец пожал плечами и ответил, что не знает. Но когда он утром увидел эту точку со знаком, то понял, что надо искать.

Катя внимательно осмотрела распечатку плана и сказала, что по ней будет очень сложно найти место, поскольку маленькая точка при таком масштабе будет соответствовать кругу диаметром метров пятьдесят, а то и сто. Отец одобрительно посмотрел на неё, а потом сказал:

— Но даже такое сужение области поиска поможет. Мы, конечно, не будем перекапывать всю площадь, просто будем искать более целенаправленно.

Я вернулся к плану и карте и тут же понял, что всё не так просто. Если взять наше село на плане и совместить его с этой же точкой на карте, то получится, что Альдия совсем в другом месте. Но папа сказал, что линейные расстояния — вообще не проблема. На компьютере всё можно отмасштабировать, и тогда расстояния между двумя точками и на плане, и на карте будут одинаковыми. По словам отца, проблема заключалась в углах между направлениями, или, как он назвал, их «азимутами». И действительно — я наложил план на карту так, чтобы наше село было в одной точке, а обозначения Альдии находились на одной прямой, и тогда обозначения всех остальных населённых пунктов просто разъехались в разные стороны.

Отец сказал, что надо искать опорный треугольник, то есть три населённых пункта, которые не лежат на одной прямой, но которые можно было бы наложить на свои отражения при соблюдении масштаба. Если это удастся, то всё остальное на плане можно будет поправить, применив специальные геометрические методы в графическом редакторе на компьютере. И тогда мы с большой точностью перенесем искомую точку с плана на местность.

Мы с Катей углубились в исследования, но у меня, к примеру, вообще ничего не получалось. С несовпадением масштабов была просто беда, и голова уже начала гудеть от всех этих опорных точек. Я отложил бумаги и сказал:

— Папа, ты можешь сейчас сделать масштаб этих документов одинаковым? А то совсем ничего не получается!

Отец нажал несколько кнопок на компьютере, и из нашего МФУ вылезли новые листы. Я взял один, приложил его к карте и увидел, что расстояние между Раёво и Альдией было одинаковым и на карте, и на плане. Неплохо. Я попробовал сравнить ещё несколько расстояний, и большинство оказались одинаковыми или примерно одинаковыми. Я вопросительно посмотрел на отца, а он сказал:

— Ничего удивительного. Из-за неравенства угловых расстояний изменились и линейные расстояния, находящиеся в стороне от той прямой «запад — восток», которую я избрал для масштабирования. Соответственно, все расстояния, параллельные или примерно параллельные ей, будут одинаковыми. А чем больше угол между прямой, избранной мной и взятой тобой для проверки, тем больше могут быть искажения.

Тогда Катя воскликнула:

— Но тогда как нам найти опорный треугольник?! Ведь если одна сторона треугольника параллельна линии «запад — восток», то две другие точно не параллельны, и будет искажение.

Я удивился такой прозорливости, но виду не подал, а согласно покивал. Но папа просто пожал плечами и сказал, что, может быть, где-то что-то мы сможем найти.

Мы продолжили работу. Но я понял, что мы ведём её как-то бессистемно. Тогда я открыл чистый лист в рабочем блокноте и выписал названия всех населённых пунктов, которые составляли пересечение множеств. У меня вышел такой список: Раёво, Альдия, Старотомниково, Новотомниково, Тарханы, Благодатка и Вислый бор. Я спросил отца:

— У нас семь населённых пунктов. Как понять, сколько можно составить из них треугольников?

Отец улыбнулся и ответил:

— О, ты затрагиваешь очень обширную тему. В математике даже есть такой раздел — комбинаторика, которая занимается подсчётом и изучением разных вариантов, комбинаций, расстановок и прочих подобных вещей. Давай подумаем…

Он взял лист бумаги и нарисовал на нём примерно равносторонний треугольник с традиционными вершинами A, B и C. Указал на вершину A и спросил:

— Сколько у нас есть вариантов населённых пунктов, чтобы поставить в эту вершину? Екатерина?

— Семь.

— Правильно! — Отец перевёл карандаш на вершину B. — А сколько вариантов осталось, чтобы поместить в эту вершину? Кирилл?

— Очевидно, шесть. Потому что один населённый пункт мы уже поставили в вершину A.

— Всё так. Соответственно, в вершину C мы можем поставить любой из оставшихся пяти населённых пунктов. Таким образом, чтобы получить общее число вариантов, нам надо перемножить семь, шесть и пять. Так?

Мы с Катей переглянулись. Выходило, что так. Получалось 210 вариантов, и это число пугало меня. Но, судя по хитрому выражению на лице отца, что-то здесь было не то. Я нахмурился. И тут озарение само пришло мне в голову. Ведь если так отбирать населённые пункты, то очень много треугольников окажутся просто одинаковыми — одни и те же населённые пункты просто попадут в разные вершины. Я быстро прикинул и понял, что из трёх населённых пунктов можно составить шесть абсолютно одинаковых треугольников. Например, если взять Раёво, Альдию и Тарханы, то первым треугольником будет «A: Раёво — B: Альдия — C: Тарханы», вторым станет «A: Раёво — B: Тарханы — C: Альдия» и так далее, до шестого «A: Тарханы — B: Альдия — C: Раёво». Получается, что как первую вершину можно взять один из трёх населённых пунктов, на вторую — один из двух оставшихся, а на третью — последний. То есть надо было три умножить на два и потом на один, и как раз получится шесть.

Что же дальше? Если сначала получилось 210 треугольников, но среди них есть шестёрки абсолютно одинаковых, просто с переименованными вершинами, то надо 210 поделить на 6, и тогда будет только 35 различных треугольников. Это количество намного обозримее.

Я пересказал все эти размышления, чем заслужил одобрение отца и уважительный взгляд Кати. Но тут отец спросил:

— А ты можешь доказать, что при любом начальном количестве населённых пунктов общее число их комбинаций по три будет делиться на шесть?