Читать книгу "Величайшие математические задачи - Йен Стюарт"

Математики тоже не слишком интересуются апельсинами. Подобно Кеплеру, они предпочитают работать с идеальными и идентичными сферами, и доводы физиков не представляются им убедительными. Судите сами: если при моделировании кристаллов атомы не следует рассматривать как идеально круглые шарики, то существование кристаллов вообще не имеет отношения к гипотезе Кеплера и ничего не доказывает. Либо то, либо другое. Даже если вы скажете, что гипотеза как будто объясняет кристаллическую решетку, а кристаллическая решетка как будто показывает, что гипотеза верна… все равно в таком рассуждении будет логический пробел. Математикам нужно доказательство.

Кеплер не называл свое утверждение гипотезой: он просто высказал его в своей книге. Совершенно неясно, собирался ли он интерпретировать упомянутый факт столь всеобъемлющим образом. Имел ли он в виду, что гранецентрированная кубическая решетка представляет собой «самую плотную упаковку в трех измерениях» из всех представимых способов упаковки шариков? Или просто говорил о том, что это самая плотная упаковка из рассмотренных им лично? Невозможно вернуться в прошлое и спросить об этом. Но, как бы ни обстояло тогда дело, математиков и физиков интересует именно общая, самая смелая формулировка. Та, что требует рассмотреть все возможные способы упаковки бесконечного числа шариков в бесконечном пространстве и показать, что ни один из этих способов не может похвастать большей плотностью, чем гранецентрированная кубическая решетка.

Недооценить сложность гипотезы Кеплера очень легко. Вроде бы логично предположить, что самая плотная упаковка получится, если добавлять шарики по одному, так, чтобы каждый из них касался как можно большего числа соседних. Такой подход непременно даст структуру, о которой говорил Кеплер. То же получится, если вы будете добавлять шарики в правильном порядке и всегда, когда есть альтернативы, выбирать для них верную позицию. Однако нет никакой гарантии, что более дальновидная политика не окажется лучше, чем процесс поштучного добавления шариков. Всякий, кому приходилось укладывать вещи в багажник автомобиля, знает, что при укладке их по одной в багажнике могут остаться промежутки, куда ничего больше не лезет, но если начать сначала и подойти к вопросу более тщательно, то иногда удается втиснуть в то же пространство больше вещей. Конечно, отчасти проблема укладки вещей затрудняется тем, что все они имеют разные размеры и форму, но смысл аналогии достаточно понятен: максимально плотная упаковка на одном небольшом участке пространства может затруднить укладку остальных вещей и не привести к максимально плотной упаковке в большем объеме.

Конструкции, которые рассматривает Кеплер, очень специфичны. Можно предположить, что какой-то совершенно иной принцип позволит упаковать одинаковые шарики еще плотнее. Может быть, выпуклые слои были бы более эффективны. А может быть, «слои» — вообще неудачная идея. Но даже если вы абсолютно убеждены, что все сделано правильно, это все равно нужно доказывать.

Не убеждены? По-прежнему считаете, что здесь все очевидно? Настолько очевидно, что никакого доказательства не требуется? Сейчас я попытаюсь разрушить вашу уверенность в правильности интуитивного решения — на более простом примере, где речь идет об укладке одинаковых кружочков на плоскости. Предположим, я дам вам 49 одинаковых кружочков единичного диаметра. Каким будет размер самого маленького квадрата, способного их все вместить без перекрытия? На рис. 21 слева показан очевидный ответ: расположить их, как ставят молочные бутылки в ящике. Сторона квадрата при этом — ровно 7 единиц. Чтобы убедиться, что это наилучший вариант, обратите внимание на то, что каждый кружок жестко удерживается остальными, так что лишнее место взять неоткуда. Но рис. 21 справа показывает, что этот ответ неверен. Стоит упаковать кружочки вот таким немного нерегулярным образом, и они поместятся в квадрате со стороной чуть меньше 6,98. Так что доказательство тоже неверно. Жесткость упаковки не гарантирует, что невозможно сделать плотнее.

Несложно убедиться, что рассуждения, позволяющие получить ответ «семь», просто не могут быть верными. Для этого достаточно рассмотреть квадрат побольше. Квадратная решетка позволяет поместить n² кружков единичного диаметра в квадрат со стороной n. Невозможно повысить плотность такой укладки путем плавного перемещения кругов, ведь укладка-то у нас жесткая. Но для больших n должны существовать и более плотные укладки, потому что, как известно, треугольная решетка эффективнее квадратной. Если взять по-настоящему большой квадрат и упаковать в него как можно больше кругов, используя треугольную решетку, то, в конце концов, треугольная решетка, благодаря своим преимуществам, победит, несмотря на «краевые эффекты» по границе квадрата, где придется оставлять незаполненные промежутки. Периметр квадрата — 4n — невелик по сравнению с n². Треугольная решетка одерживает верх над квадратной как раз при n = 7. Это не очевидно, и доказывать это пришлось бы долго и подробно, но ясно, что рано или поздно размер сработает. Одной только жесткости укладки недостаточно.

На самом деле существует два варианта гипотезы Кеплера. Одна рассматривает только регулярную упаковку; в ней центры шариков образуют пространственную периодическую структуру, которая бесконечно повторяется в трех независимых направлениях, как своего рода объемные обои. Даже в этом случае проблема весьма сложна, поскольку в пространстве возможно множество различных решеток. Кристаллографы различают 14 их типов, различаемых по видам симметрии, и некоторые из этих типов имеют параметры, которые могут принимать бесконечно много различных значений. Но все эти сложности меркнут, когда начинается рассмотрение второго варианта гипотезы, разрешающей любые возможные упаковки. Шарики здесь находятся в пространстве без гравитации и совершенно не обязаны собираться в слои или какие бы то ни было симметричные структуры.

Когда задача представляется слишком сложной, математики обыкновенно убирают ее в долгий ящик и принимаются искать более простые варианты. Рассуждения Кеплера о плоских слоях наводят на мысль о более простой задаче — упаковке кругов на плоскости. Это значит, что на плоскости, где имеется бесконечное число одинаковых кругов, надо собрать их как можно плотнее. В такой задаче плотность — это доля площади, которую покрывают круги. В 1773 г. Жозеф Луи Лагранж доказал, что самая плотная упаковка кругов на плоскости достигается в треугольной решетке, где плотность составляет π/√12 ≈ 0,9069. В 1831 г. Гаусс в отзыве на книгу Людвига Зибера (тот обобщил некоторые теоретические выводы Гаусса по уравнениям третьего порядка) отметил: результаты Зибера доказывают, что самую плотную регулярную упаковку в трехмерном пространстве обеспечивают гранецентрированная кубическая и гексагональная решетки. Сегодня математики очень много знают о решетчатой укладке в пространствах с бóльшим числом размерностей — четыре, пять, шесть и т. д. Особенно хорошо удалось разобраться с решетками в 24-мерном пространстве. (Да, такая уж это тема.) Несмотря на кажущуюся непрактичность, эта область математики имеет немало применений в теории информации и теории кодирования.