Читать книгу "Озадачник. 133 вопроса на знание логики, математики и физики - Николай Полуэктов"

Варианты ответов

1. В замкнутом контуре отопления движение воды возможно и при низком давлении, а вот по водопроводу воду без давления не поднять.

2. Авария касалась только водопровода, система отопления не была с ним связана.

3. Батареям хватило до вечера утреннего запаса тепла.

Правильный ответ: 1

Нет, конечно, можно предположить, что системы водо– и теплоснабжения в этом доме независимы, но в подавляющем большинстве случаев это не так, почти всегда это одна и та же система, так что будем из этого исходить. Почему не текла вода из кранов верхних этажей? Известно, что давление воды падает на 1 атм при повышении уровня на 10 м. Пятый этаж – это где-то метров 20, т. е. давление в трубе было где-то на уровне 2 атм – его еще хватало поднять воду до четвертого, но выше уже никак. Это потому, что водопроводный контур – открытый: поднимаем воду до уровня крана, из которого она вытекает свободно. Иное дело – контур тепловой: он замкнутый. Подняв столб воды на высоту h, мы одновременно такой же столб воды с такой же высоты спустили – т. е. здесь работы почти не совершается, баланс энергии практически нулевой. Соответственно, движение воды по такому контуру возможно даже при очень небольшом давлении. Схожий эффект многие могли наблюдать при сливании бензина из бензобака через трубочку: главное – запустить ток жидкости (говорят «отсосать бензин») и держать выпускное отверстие ниже уровня топлива в баке, и тогда оно может вытечь хоть все, притом что сначала ему нужно подняться по трубке на ощутимую высоту.

133. Меткий выстрел

Артиллерийский расчет после долгих вычислений и пристреливаний производит залп по намеченной цели, в которую на сей раз они – уж будьте покойны, ваше благородие! – совершенно точно попадут. Расстояние до цели L, снаряд стартует под углом 45° к поверхности земли – «Готовьсь. Цельсь. Пли!». Но вот же незадача: в самой верхней точке своей траектории снаряд разрывается ровно надвое, причем одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле, а вторая продолжает полет в том же направлении, что и раньше, т. е. параллельно поверхности земли. Удастся ли этой второй, более удачливой половине поразить цель и куда вообще она упадет?

Варианты ответов

1. Нетрудно посчитать, что она перелетит цель и упадет на расстоянии 3/2 L от орудия.

2. А у задачи вообще есть решение?

3. Поскольку импульс снаряда после разделения на две части не поменялся, то не изменится и траектория – упадет туда, куда и было задумано.

Правильный ответ: 2

Формально, решение элементарно: импульс снаряда перед разрывом и после один и тот же (обозначим его p0), при этом речь о наивысшей точке – т. е. направление импульса в этот момент параллельно поверхности земли. Одна половинка полетела строго вниз, значит, импульса вдоль поверхности земли у нее вообще нет – по закону сохранения импульса он весь остался на второй половинке, полетевшей горизонтально. Импульс у нее p0, масса вдвое меньше первоначальной – соответственно, скорость вдвое выше, чем была. Время спуска у нее такое же, как у неразорвавшегося снаряда (определяется предельной высотой и ускорением свободного падения g, – получается, пролетит она вдвое дальше. То есть в составе снаряда пролетела L/2, а отдельно пролетит еще 2 × L/2 – всего, выходит, 3/2L.

Но обратите внимание на условие: «одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле» – следовательно, у первой половины снаряда появляется вертикальная компонента импульса. А у второй – нет (продолжает лететь параллельно земле). Притом что до разрыва они летели вровень с землей, значит, если одна помчалась вниз, другая с неизбежностью должна подскочить вверх – иначе никакой закон сохранения импульса не выполняется. В результате имеем некорректно поставленную задачу, без решения.

Послесловие

Радость от ума

В магазине – акция: «Купи две вещи, получи третью в подарок!», и мелким шрифтом приписано: «В подарок по акции предназначена вещь наименьшей стоимости из трех». Уже на кассе жена меня спрашивает:

– А что нам делать, если вещей у нас шесть? Пробивать в два чека? А как их распределить?

– В первый чек все самое дешевое, во второй – самое дорогое. Тогда твоя скидка будет максимальной, – отвечаю наобум, просто чтобы ее успокоить, дать какой-то алгоритм. Но пока стоим в очереди, обдумываю эту задачу. И она мне нравится все больше и больше.

Правильный ли ответ я дал? Давайте посмотрим. Есть шесть товаров с разной ценой, для определенности пусть они стоят 1, 2, 3, 4, 5 и 6 руб. Пробиваем два чека, в одном из них с необходимостью будет товар ценой 1 руб., и именно такой будет скидка по этому чеку. Значит, нужно сделать так, чтобы во втором чеке самый дешевый товар был как можно дороже. Это возможно сделать, только если два самых недорогих товара (из оставшихся пяти) поместить в первый чек – а это вещи ценой 2 и 3 руб. Тогда в первом чеке у нас товары за 1, 2 и 3 руб., во втором – за 4, 5 и 6. Получается, совет жене я дал совершенно правильный. Нетрудно распространить это правило и на любое другое число товаров, кратное трем: рассуждая аналогичным образом, мы получим, что всегда нужно группировать товары по цене (по возрастанию или по убыванию) и в каждом чеке пробивать ближайшие «тройки». Можно еще задаться вопросом: если покупаешь три вещи, что выгоднее – чтобы они были в разную цену или одну и ту же? Несложно показать, что максимальная скидка (33 %) достигается, когда вещи стоят одинаково, в противном случае она может быть значительно ниже (в примере трех вещей ценой в 1, 2 и 3 руб. скидка составляет 1/6 = 17 %).

Эта задача кажется мне замечательной вот по какой причине: она наглядно показывает, что сложные расчеты и рассуждения применимы не только в высокой академической науке, но и в самой что ни на есть приземленной, мещанской сфере, к каковой, вне всяких сомнений, относятся промоакции в магазинах. Казалось бы, никакой связи – а она есть. Любите науку, это взаимно!

Николай Полуэктов

Москва, 31 мая 2016 г.

Основная литература по теме

Часть заданий в книге – переработанные классические задачи. Список литературы, содержащей исходные задачи и горячо рекомендуемой к прочтению:

Арнольд В. И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. – М.: МЦНМО, 2004.

Гарднер М. Крестики-нолики. – М.: Мир, 1988.

Дербишир Дж. Простая одержимость. – М.: Астрель, 2010.