Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

Обратите внимание, что второе число в нем – 5, да и в принципе вторым числом ряда n будет n. Это все из-за за того, что количество способов выбрать один объект из множества n равно n. Также стоит обратить внимание, что каждый ряд

геометрически симметричен: чисел до центральной оси столько же, сколько и после нее. В том же самом 5 ряду мы видим

В целом же закономерность говорит о том, что

Отступление

У таких симметричных отношений есть два объяснения. Первое – алгебраическое – с помощью формулы

Но так ли уж сильно она нам тут нужна? Почему, например, Число обозначает количество вариантов выбора 3 сортов мороженого из десяти (в вазочке, не в рожке). Но ведь это то же самое, что считать варианты выбора тех 7 сортов, которые мы не купим.

Следующая закономерность, которую легко заметить, заключается в том, что во всех, кроме 1-го, рядах каждое число есть, по сути, сумма двух других – тех, которые находятся прямо над ним. Посмотрите, например, на 9 и 10 ряды треугольника. Потрясающе, правда? Называются эти отношения правилом Паскаля.

Почему так происходит? Когда мы смотрим на равенство 120 = 36 + 84, мы, по сути, видим

Чтобы в этом разобраться, давайте попробуем ответить на один вопрос. Если имеется 10 сортов мороженого, сколько вазочек можно собрать из 3 шариков разных сортов (порядок шариков при этом не важен)? С одной стороны, мы уже посчитали это количество как Но есть и другой способ. Допустим, один из предлагаемых нам сортов мороженого – ванильное. Сколько вазочек у нас получится без него? Ответ – потому что тогда мы будем выбирать свои 3 сорта из 9 оставшихся. А сколько вазочек получится с ним? Конечно же, ведь нам останется выбрать только 2 сорта из 9 оставшихся. Получается, что общее количество вазочек будет равно Какой из этих ответов верен? И в том и в другом случае мы следовали абсолютно верной логике, поэтому и в том и в другом случае мы дали абсолютно верный ответ и получили абсолютно одинаковые результаты. Та же логика (или та же алгебра, если хотите) приводит нас к идее, что для каждого значения k от 0 до n

А теперь давайте посмотрим, что будет, если мы сложим все числа каждого ряда Паскалева треугольника (см. ниже).

Закономерность предполагает, что сумма всегда будет представлять собой степень двойки. Алгебраически: сумма чисел ряда n будет равна 2n. Как так получается? Эту закономерность можно описать и по-другому: сумма чисел (числа) 1-го ряда равняется 1 и затем удваивается от ряда к ряду. Объяснением этому служит правило Паскаля, природу которого мы только что объяснили, а обоснованность – доказали. Например, когда мы складываем между собой числа 5-го ряда и трансформируем их в зависимости от их связи с 4-м рядом, получается

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1

то есть буквально удвоенная сумма чисел 4-го ряда. То же продолжается и дальше, вниз от вершины треугольника и до бесконечности.

С точки зрения биноминальных коэффициентов правило утверждает, что сумма чисел ряда n выглядит так:

что несколько неожиданно, поскольку отдельные значения соответствуют факториалам и являются делимыми самых разных чисел. И все же общая сумма основана на 2 и простом множителе.

Еще один способ объяснить эту закономерность – подсчет, а именно – комбинаторное доказательство. Чтобы объяснить сумму чисел 5 ряда (который ничем принципиально не отличается от ряда n), давайте вернемся к прилавку с мороженым, где на этот раз осталось всего лишь 5 сортов. Сколькими способами мы можем заполнить нашу вазочку? Единственное ограничение – сорта не должны повторяться. Мы можем взять 0, 1, 2, 3, 4 или 5 разных сортов, а порядок шариков не важен. Сколько получится вазочек с 2 шариками? Как мы уже знаем, посчитать их можно как Всего же, в зависимости