Читать книгу "Код. Тайный язык информатики - Чарльз Петцольд"

Чтобы не спутать обычную алгебру с булевой, вместо символов «+» и «×» для обозначения объединения и пересечения классов иногда используются символы U и ∩.

Однако освобождающее влияние Буля на математику отчасти заключалось в том, чтобы сделать использование знакомых операторов более абстрактным, поэтому, следуя его примеру, я решил не вводить новые символы.

Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные правила остаются справедливыми в булевой алгебре. Более того, здесь оператор «+» является дистрибутивным по отношению к оператору «×», чего нельзя сказать об обычной алгебре:

Б + (Ч × Ж) = (Б + Ч) × (Б + Ж).

Объединение белых и черных кошек-самок равнозначно пересечению двух объединений: белых и черных кошек, а также белых кошек и кошек-самок. Это сложно понять, но все именно так и устроено.

Булевой алгебре необходимы еще два символа. Они смахивают на числа, но ими не являются, поскольку иногда с ними обращаются не так, как с числами. Символ 1 означает множество всех вещей, о которых мы говорим. В данном примере 1 — это множество всех кошек:

М + Ж = 1.

Значит, множество всех кошек содержит самцов и самок. Точно так же оно включает всех кошек рыжего, черного, белого и других окрасов:

Р + Ч + Б + Д = 1.

Кроме того, множество всех кошек можно получить и так:

С + Н = 1.

Символ 1 может использоваться со знаком минус, чтобы указать на множество всех вещей, исключающее некое подмножество, например:

1 − М.

Как видите, это множество всех кошек, кроме самцов. Множество всех кошек, исключающее всех самцов, соответствует множеству кошек женского пола:

1 − М = Ж.

Другой необходимый символ — 0, а в булевой алгебре 0 означает пустое множество, которое ничего не содержит. Пустое множество — результат пересечения двух взаимоисключающих множеств, например множество кошек-гермафродитов:

Ж × М = 0.

Обратите внимание: символы 1 и 0 иногда работают одинаково в булевой и в обычной алгебре. Например, пересечение множества всех кошек и кошек женского пола соответствует множеству кошек-самок:

1 × Ж = Ж.

Пересечение пустого множества и множества кошек-самок представляет пустое множество:

0 × Ж = 0.

Объединение пустого множества и множества всех кошек-самок — это множество кошек-самок:

0 + Ж = Ж.

Однако иногда результаты в булевой и в обычной алгебре отличаются. Например, объединение всех кошек и кошек-самок соответствует множеству всех кошек:

1 + Ж = 1.

Это не имеет смысла в обычной алгебре.

Поскольку Ж — множество всех кошек-самок, а 1 − Ж — множество всех кошек, которые не являются самками, объединение этих двух множеств соответствует 1:

Ж + (1 − Ж) = Ж + М = 1.

Пересечение двух множеств соответствует 0:

Ж × (1 − Ж) = 0.

С исторической точки зрения эта формулировка — важная веха в логике, называемая законом противоречия, который гласит, что нечто не может одновременно являться собой и своей противоположностью.

Где булева алгебра действительно отличается от обычной, так это в следующем выражении:

Ж × Ж = Ж.

Пересечение множества кошек-самок и множества кошек-самок по-прежнему множество кошек-самок. Это выражение имеет смысл в булевой алгебре. Однако оно неверное, если бы буква Ж означала число. Буль считал, что выражение X2 = X является единственным выражением, отличающим его алгебру от обычной. Вот еще одно булево выражение, которое выглядит странно с точки зрения обычной алгебры:

Ж + Ж = Ж.

Объединение множества кошек-самок и множества кошек-самок по-прежнему является множеством кошек-самок.

Булева алгебра предоставляет математический метод для решения силлогизма Аристотеля. Давайте рассмотрим первые две его части:

Все люди смертны;

Сократ — человек.

Буквой Л мы обозначим множество всех людей, буквой Х — множество всех смертных существ, а буквой С — множество Сократов. Что означает выражение «все люди смертны»? Пересечение множества всех людей и множества всех смертных существ — это множество всех людей:

Л × Х = Л.

Выражение Л × Х = Х было бы неправильным, поскольку множество всех смертных существ включает кошек, собак и деревья.

Выражение «Сократ — человек» означает, что пересечение множества Сократов (очень небольшого множества) и множества всех людей (гораздо более крупного множества) представляет множество Сократов:

С × Л = С.

Поскольку из первого уравнения известно, что Л равно Л × Х, можем подставить это выражение во второе:

С × (Л × Х) = С.

Согласно ассоциативному закону это равнозначно выражению:

(С × Л) × Х = С.

Однако мы уже знаем, что С × Л равно С, поэтому можем упростить выражение, используя эту подстановку:

С × Х = С.

Теперь мы закончили. Эта формула указывает, что пересечение множества Сократов и множества всех смертных существ есть С, а это значит, что Сократ смертен. Если бы вместо этого оказалось, что С × Х равно 0, мы бы пришли к выводу, что Сократ не был смертным. Если бы мы обнаружили, что С × Х равно Х, то вывод заключался бы в том, что Сократ является единственным смертным существом, а все остальные бессмертны.

Использование булевой алгебры может показаться излишним для доказательства очевидного факта (особенно учитывая то, что Сократ доказал собственную смертность 2400 лет назад), однако ее можно использовать для того, чтобы определить, удовлетворяет ли что-то определенному набору критериев. Возможно, однажды вы зайдете в зоомагазин и скажете продавцу: «Мне нужен стерилизованный кот белого или рыжего окраса, или стерилизованная кошка любого окраса, кроме белого, или я возьму любую из имеющихся у вас черных кошек». И продавец скажет, что вам нужна кошка из множества, описываемого следующим выражением:

(М × С × (Б + Р)) + (Ж × С × (1 − Б)) + Ч.

Верно? И вы ответите: «Да! Точно!»

Проверяя, правильно ли продавец вас понял, можно отказаться от понятий объединения и пересечения, вместо них использовать слова ИЛИ и И. Я пишу эти слова заглавными буквами, потому что они не только соответствуют понятиям в обычном языке, но и могут представлять собой операции в булевой алгебре. Когда вы формируете объединение двух множеств, вы фактически берете элементы из первого ИЛИ второго множества. А когда вы формируете пересечение, то берете только те элементы, которые одновременно принадлежат первому И второму множествам. Кроме того, вы можете использовать слово НЕ везде, где встречается символ 1, за которым следует знак «минус». Таким образом: