Читать книгу "Математика для гиков - Рафаель Роузен"

2.22. Не следуй вплотную

Математическое понятие: арифметика

Чем быстрее вы едете на своей машине, тем больше шансов у вас получить травмы. На высокой скорости у вас меньше времени, чтобы среагировать на другие машины на дороге, а тяжесть травм в результате аварии возрастает. Но на сколько именно каждая величина увеличивается или уменьшается? Математика может предоставить несколько полных ответов и, возможно, воодушевит вас ездить осторожнее.

Представим, что вы едете со скоростью 60 миль в час. Если вы знаете, что миля равна 5280 футам, то вы можете посчитать, что двигаетесь со скоростью 88 футов в секунду. А так как длина автомобиля равна примерно 15 футам, то за эту одну секунду вы будете проезжать длину в 6 автомобилей (так как 6 × 15 = 90, а это почти 88). Если по правилам безопасности вы должны следовать за машиной спереди так, чтобы между вами мог поместиться один автомобиль за каждые добавленные 10 миль в час к вашей скорости, то вас будет отделять длина в 6 машин (при условии, что эта машина едет с той же скоростью, что и вы). Эти вычисления показывают, что если у машины, которая едет спереди, вдруг лопает колесо, то у вас есть одна секунда, чтобы среагировать на это.

Поэтому следовать вплотную – это очень плохая идея.

Индекс тяжести по Гэдду

Индекс тяжести по Гэдду определяет, насколько автомобильная авария воздействует на человека, который сидит внутри. Уравнение выглядит так: индекс тяжести = a5/2 (t), где а – ускорение, а t – время в секундах. Голова человека может вынести значения индекса тяжести, которые меньше 1000, если продолжительность времени очень короткая (порядка миллисекунд).

2.23. Эффект бразильского ореха

Математическое понятие: гранулярная конвекция

Это неизбежно. Когда вы покупаете банку орехов, то каким-то чудом все большие орехи оказываются сверху. То же самое происходит и с хлопьями: большие хлопья, как и орехи, оказываются сверху, так что на дне и в середине мы остаемся без этих вкусных кусочков. Помимо своего обескураживающего действия, так называемый эффект бразильского ореха имеет и другие связи с математикой. Но какие?

Одна популярная гипотеза связывает происхождение эффекта с размерами частиц (которыми могут быть орехи, хлопья, галька, маленькие стеклянные шарики или любые другие смеси объектов). Когда смесь частиц сталкивается, частицы двигаются вертикально, пусть даже на короткое расстояние. В этот момент между частицами образуется пространство и другие частицы по бокам контейнера его заполняют. Но крупные частицы не могут поместиться в пространство, освобожденное мелкими частицами. В результате крупные частицы все время движутся вверх. Как только они достигают вершины, они там остаются, а мелкие частицы двигаются в бок и потом вниз на дно продолжительным циклом, известным как гранулярная конвекция. (Вы видели конвекцию в действии, если видели кастрюлю с кипящей водой. Молекулы воды поднимаются наверх по мере того, как нагреваются, а потом опускаются, когда остужаются.) Математика в коробке хлопьев? Еще бы!

Бразильские орехи и лавины

Люди, которые путешествуют по снежным горам, теперь могут носить устройства, которые увеличиваются в размере во время схода лавины, они становятся больше, и, следовательно, возрастает вероятность того, что вы будете двигаться к поверхности, если вас накроет снегом. Эта идея использует тот же принцип эффекта бразильского ореха, который потенциально может спасти жизнь.

2.24. Развеиваем мифы: больше дорог не гарантируют меньше пробок

Математические понятия: сети и системы, парадокс Браеса

В 1968 году немецкий математик Дитрих Браес обнаружил странную особенность сетевых систем, которая, казалось, бросает вызов здравому смыслу. Доктор Браес, который сейчас преподает в Рурском университете в Бохуме в Германии, изучал транспортный поток и заметил, что в некоторых случаях, когда поток машин был сильным, дополнительные дороги на самом деле только ухудшали ситуацию. Точно так же удаление дорог из некоторых районов, перегруженных трафиком, позволяло автомобилям легче передвигаться. Эта идея была не просто нелогичной; она противоречила догматам городского планирования. Как такое возможно?

В основе открытия Браеса лежит тот факт, что все водители эгоистичны. Они не координируют свои планы по вождению с другими водителями, и каждый хочет выбрать самый быстрый маршрут из точки А до точки Б. Например, представьте, что существуют два пути от центра города до торгового центра в пригороде. Каждый путь состоит из двух частей: одна секция дороги, которую водители могут проехать за 30 минут, и другая секция, более узкая, так что время на то, чтобы ее проехать, зависит от количества машин, которые по ней едут. (Можно сказать, время, которое необходимо для проезда этого участка, равно Т/5, где Т – количество машин на этом участке.) Также нужно отметить, что, хотя оба пути от центра города до торгового центра включают в себя два участка дороги, они появляются в разном порядке. (То есть на маршруте А узкая дорога идет до 30-минутной дороги, и наоборот для маршрута Б.)

Как долго 200 водителей будут добираться из центра города до торгового центра? Так как оба маршрута одинаковы – единственное отличие состоит в том, что участки дороги меняются местами, – мы можем предположить, что половина водителей выберет один маршрут, а другая половина – второй, и, таким образом, время в пути для каждого маршрута составит 50 минут.

Водитель на одном из маршрутов не будет иметь причины, чтобы поменять его, так как он не сэкономит на этом время. (В такой ситуации, когда вовлечено множество людей и каждый понимает, что будет делать другой на его месте, и никто не собирается менять свою стратегию, люди находятся в равновесии Нэша – см. главу 2.14).

Теперь представим, что между маршрутами построили более короткий путь в том месте каждого маршрута, где встречаются два участка. Эту дорогу можно проехать очень быстро. Теперь водители обоснованно захотят использовать один и тот же маршрут: они могли бы проехать участок Т/5 маршрута А, потом поехать по короткому пути, а потом по участку Т/5 маршрута Б. (Такой путь будет иметь зигзагообразную форму.) Но естественно, что все 200 водителей захотят так поехать, чтобы сократить время в пути, то есть путь займет 200/5 + 200/5, или 80 минут. Водители будут знать, что могут срезать дорогу, поэтому все выберут этот маршрут. В результате транспортный поток ухудшится.

Идея сокращения вариантов выбора для улучшения условий движений была использована в реальных городах, включая Сеул, столицу Южной Кореи. Когда шестиполосная дорога, проходящая через центр города, была демонтирована в середине 2000-х и на ее месте построили парк длиной в 5 миль, движение на самом деле стало более эффективным. Машины ехали по дорогам, которые уже существовали. Результат, может, бросил вызов здравому смыслу, но математика помогла открыть его мудрость.