Читать книгу "Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин"

В полной колоде карт каждая карта принадлежит к одной из 4 мастей (пики, червы, бубны, трефы) и 13 достоинств (туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама и король). Значит, всего в полной колоде 4 × 13 = 52 карты. При желании все их можно разложить в виде прямоугольника со сторонами 4 на 13 – тем самым мы получим визуальное представление об общем количестве в 52.

Давайте применим правило произведения для подсчета почтовых индексов. Каково возможное количество пятизначных индексов? Каждый индекс – это пятизначное число, состоящее из цифр от 0 до 9. Наименьшее из них будет иметь вид 00000, а наибольшее – 99999[7]. Значит, всего имеется 100 000 вариантов. К тому же результату можно прийти с помощью правила произведения. У нас есть 10 вариантов выбора числа для первой цифры (от 0 до 9), 10 – для второй, и дальше по 10 для третьей, четвертой и пятой. Значит, имеем 105 = 100 000 вариантов.

В почтовых индексах числа могут повторяться. А если взять ситуацию, в которой объекты не могут повторяться – например, когда вы выкладываете предметы в ряд? Несложно заметить, что два объекта в каждой паре могут быть расположены двумя способами. Скажем, буквы А и B могут быть представлены либо как АВ, либо как ВА. Способов разложить 3 объекта у нас ровно 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. А можете представить в уме, без ручки и бумажки, 24 возможные комбинации 4 объектов? Начнем с выбора одного из четырех вариантов для начальной позиции (выбираем из четырех букв: А, B, C или D). Для второй позиции останется 3 варианта, для третьей – 1, для последней, четвертой, – всего лишь 1. Всего получается 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 варианта. Другими словами, для n объектов имеется n! вариантов их расположения.

А вот пример одновременного использования правил суммы и произведения. Допустим, некое государство выдает автовладельцам регистрационные номера двух типов. Номера первого типа состоят из 3 букв и 3 цифр, второго – из 2 букв и 4 цифр (в обоих случаях сначала идут буквы, потом – цифры). Сколько всего будет номеров (притом что мы можем использовать все 26 букв латинского алфавита и 10 цифр, не обращая при этом внимания на внешнее сходство, вроде О и ноль)? Сначала посчитаем количество номеров первого типа, применив правило произведения:

26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 17 576 000

То же с номерами второго типа:

26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6 760 000

Так как один номер относится либо к первому, либо ко второму типу (и не повторяется), согласно правилу суммы общее количество возможных комбинаций – 24 336 000.

Но подобного рода подсчеты (математики даже выделяют такие упражнения в отдельную ветвь своей науки – комбинаторику) не приносили бы столько удовольствия, если бы не многообразие способов, которыми можно достичь желаемого (мы уже успели в этом убедиться, когда говорили об устном счете). Оказывается, то же количество автомобильных номеров можно посчитать за один шаг:

26 × 26 × 36 × 10 × 10 × 10 = 24 336 000

ведь для первых двух символов каждого номера существует 26 вариантов, для последних трех – 10, при этом третий символ может быть или буквой, или цифрой, а значит, возможных вариантов здесь будет 26 + 10 = 36.

Лотерея и покер

В этом разделе мы используем то, что только что узнали, для подсчета своих шансов выиграть в лотерею или собрать нужную комбинацию в покере. Но позвольте сначала предложить вам немного мороженого.

Допустим, вам предлагают наполнить рожок 3 шариками разных сортов мороженого. Всего можно выбирать из 10 сортов. Сколько всего можно получить разных рожков? Не забудьте: порядок шариков разных сортов имеет значение (а как же иначе? Ведь вкус-то разный!). Если повторяться можно, получается, что у нас есть 10 вариантов для каждого из трех шариков: 103 = 1000 вероятных комбинаций. Ну а если нельзя – их количество сокращается до 10 × 9 × 8 = 720, как показано на картинке чуть ниже.

Теперь кое-что поинтереснее. Как будут лежать три шарика трех разных сортов в вазочке, если их порядок не важен? Можно сказать точно: их будет меньше. А конкретно – в 6 раз меньше. Попытаемся понять, почему. Лежащие в вазочке 3 шарика мороженого 3 разных сортов (допустим, шоколадное, ванильное и мятное) можно переложить в рожок 3! = 6 способами. Значит, из 1 варианта вазочки можно собрать 6 вариантов рожков. Количество вазочек, таким образом, будет равняться

Другой способ представить 10 × 9 × 8 – 10!/7! (хотя первый пример, конечно, легче подсчитать). Значит, количество чашек – Такая запись читается как «число сочетаний из 10 по 3», обозначается символом и равняется 120. Другими словами, число вариантов при выборе определенного количества различных объектов, равного n, из общего количества различных объектов, равного k (в произвольном порядке), называется «числом сочетаний из n по k» и подсчитывается по формуле

Математики называют такого рода вычисления сочетаниями или комбинациями, а числа вида – биноминальными коэффициентами. Вычисления же при строго определенном порядке объектов называется перестановкой или пермутацией. Эти два понятия часто путают: например, мы привыкли думать, что на «кодовом» замке нужно подбирать «комбинации» цифр, хотя по сути это не комбинации, а перестановки, ведь порядок чисел, составляющих код, имеет большое, если не решающее, значение.