Читать книгу "Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира"

Вы только посмотрите, какое тут царит распутство! Партнер числа 5, число 11, состоит в связи еще и с 17, а то заигрывает с 23, а оно изменяет ему с 29. Но число 29 хранит верность 23. Сколько тут сюжетных возможностей для поистине кошмарного любовного романа!

Конечно или бесконечно количество простых чисел-близнецов, простых кузенов или сексуальных пар, никто не знает.

Примечание для математиков: сходимость обратных значений простых чисел

Рассмотрим следующий ряд, состоящий только из простых чисел-близнецов:

(1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + … + (1/857 + 1/859)…

В 1915 г. норвежский математик Вигго Брун доказал теорему, которая стала знаменитой и носит теперь его имя. В этой теореме Брун показал, что приведенный выше ряд сходится, и его сумма равна приблизительно 1,9 (1,90216…).

Если бы этот ряд расходился, мы бы точно знали, что количество пар чисел-близнецов бесконечно. Однако тот факт, что он сходится, абсолютно ничего не говорит нам о конечности или бесконечности количества пар близнецов.

Если бы мы могли доказать, что сумма этого ряда не может быть выражена дробью – такие числа называются иррациональными, – это также решило бы задачу, так как означало бы, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов (сумма конечного количества рациональных чисел всегда равна рациональному числу). Однако эта сумма рациональна, что опять же не проливает света на вопрос о бесконечности (или конечности) чисел-близнецов. Вскоре я расскажу нематематикам о рациональных и иррациональных числах.

Ряд для двоюродных простых чисел выглядит так:

(1/7 + 1/11) + (1/13 + 1/17) + (1/19 + 1/23) + …

Он сходится к сумме, приблизительно равной 1,197 (1,1970449…).

Устойчивые простые числа

Простое число называют устойчивым, если любая перестановка составляющих его цифр также дает простое число[21]. Например, простое число 199 стабильно, потому что числа 919 и 991 также являются простыми. 13 – тоже устойчивое простое число, так как оба числа 13 и 31 относятся к простым. Если запустить компьютерную программу по поиску устойчивых простых чисел, обнаружится, что после сравнительно небольшого количества чисел (последнее из которых – 991) устойчивыми, по-видимому, могут быть только простые числа, состоящие из одних лишь повторяющихся единиц. Первое из них – число 1 111 111 111 111 111 111.

И вот вам еще одна открытая проблема: существуют ли устойчивые простые числа, большие 991, но состоящие не только из единиц? Небольшая подсказка: устойчивое простое число может содержать только цифры 1, 3, 7 и 9. Вполне очевидно, что, если в числе содержится цифра 5, то одна из перестановок его цифр даст составное число.

Палиндромы

Палиндром – это текст, который читается одинаково в обе стороны. I prefer pi[22] – пример фразы-палиндрома. А есть ли палиндромы среди простых чисел? Есть. На самом деле их немало: 919, 101, 14 741 – и множество других превосходных примеров (самое большое из доказанных простых чисел-палиндромов содержит почти полмиллиона знаков). Однако все еще не ясно, конечно или бесконечно их количество. Почему бы вам не наточить карандаши, не включить компьютер и не посмотреть, не сможете ли вы выяснить чего-нибудь по этому поводу.

Гипотеза Лежандра

Французский математик XVIII в. Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) выдвинул гипотезу, что между n² и (n + 1)² всегда есть по меньшей мере одно простое число.

Рассмотрим случай n = 2. Между 2² = 4 и 3² = 9 мы находим простые числа 5 и 7. Многие математики интуитивно верят в справедливость этой гипотезы, но, как мы уже говорили, когда имеешь дело с математикой, нельзя полагаться на одну лишь интуицию.

Выше, в разделе под названием «Царство составных чисел», мы узнали, что можно найти сплошную последовательность составных чисел (в которой не будет ни одного простого числа) произвольной длины. Один из студентов, которых я учил, решил, что это обстоятельство противоречит гипотезе Лежандра и, таким образом, доказывает ее ложность. Он ошибался. Последовательности составных чисел нельзя образовывать где попало. Как вы, должно быть, помните, последовательность из 100 чисел, которую мы рассматриваем, начиналась лишь со 100!. А 100! – огромное число{17}, и в той области, в которой находится связанная с ним последовательность, промежутки между квадратами двух последовательных чисел тоже весьма велики, так что в них теоретически может найтись место по меньшей мере для одного простого числа. Заметим, что промежуток (то есть разность) между квадратом 100! и квадратом (100! + 1) составляет:

(100! + 1)² – 100!² = (100!² + 2 × 100! + 1) – 100² = 2 × 100! + 1.

То есть и этот промежуток поистине колоссален!

На момент написания этой книги никто не доказал истинности или ложности гипотезы Лежандра.

ЖЕНЩИНЫ В МИРЕ МАТЕМАТИКИ

Те математики, с которыми мы знакомились до сих пор, были по большей части мужчины. Разве в истории не было заметных женщин-математиков? Были. И еще какие!

На этом месте я ненадолго отвлекусь от простых чисел, чтобы рассказать вам о некоторых из известных женщин-математиков. Можно сказать, что двумя из величайших женщин, занимавшихся математикой, были русская математик Софья Ковалевская (1850–1891) и немецкая математик еврейского происхождения Эмми Нётер (1882–1935), преданная поклонница Эйнштейна.

Невозможно быть математиком, не будучи в душе поэтом.

Софья Ковалевская

Однако история женщин в математике началась гораздо раньше.

В ДРЕВНЕМ МИРЕ

Утверждается, что Феано из Кротона, жена Пифагора, была математиком и физиком, а также занималась медициной и психологией – то есть была настоящей женщиной Возрождения задолго до самого Возрождения. Дамо, дочь этого же первого исследователя чисел, тоже интересовалась математикой, была членом пифагорейской секты и, вероятно, внесла свой вклад по меньшей мере в некоторые из доктрин, которые приписывают ее отцу.

Самой знаменитой женщиной-математиком Древнего мира была, вне всякого сомнения, Гипатия Александрийская (родившаяся во второй половине IV в.). Ее отец, математик и философ Теон, решил вырастить из нее «совершенного человека» и попытался сделать так, чтобы она усвоила все знания, накопленные человечеством к этому времени. Он передал ей всё, что знал сам, а кроме того, отправлял ее учиться в Афины и в Рим. Большинство ее биографов отмечают, что математическими талантами она превосходила отца.