Читать книгу "Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский"

В чем секрет силы выбора из двух

Эффективность метода выбора из двух удивительна. Но если задуматься, этот результат вполне логичен, и мы постараемся предложить вам простое объяснение.

Давайте вернемся к рис. 5.1. У сервера 5 самая длинная очередь. Если выбрать сервер наудачу, наши шансы наткнуться на сервер 5 будут 1:5. Это 20 % случаев! При этом шансы попасть на самый лучший сервер, сервер 2, точно такие же.

Теперь представьте, что мы сначала выбираем два сервера, а потом наименьшую очередь из двух. Во-первых, в этом случае на сервер 5 мы в принципе не попадаем никогда. В худшем случае мы попадем на сервер 4. Но для этого мы должны наудачу вытянуть сервер 4 и сервер 5. Два сервера из пяти можно выбрать десятью способами: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 1 и 5, 2 и 3, 2 и 4, 2 и 5, 3 и 4, 3 и 5, 4 и 5. Все эти пары равновероятны. Шансы, что из десяти возможных пар мы вытянем именно самую неудачную, 4 и 5, всего 1:10. При этом свободный сервер 2 входит в четыре из десяти пар. Выбрав пару, в которую входит этот сервер, мы непременно на него попадем. Значит, наши шансы попасть на сервер 2 равны 4:10; это уже не 20 %, а 40 %.

Итак, у нас набралось три причины, по которым выбор из двух выгоднее выбора наугад:

1) мы никогда не попадаем в самую длинную очередь;

2) маловероятно, что мы выберем сразу два сервера с длинной очередью;

3) увеличиваются шансы попасть на пустой сервер.

Какая из этих причин самая значительная? Из математических уравнений следует, что причина 2. Представьте, что серверов много и у 20 % серверов длинная очередь. Тогда шансы наткнуться на два таких сервера всего 0,2×0,2×100 %=4 %.

Именно это перемножение вероятностей 0,2×0,2 и приводит к совершенно другому решению уравнения, согласно которому длинные очереди становятся практически невероятными[12].

Так получилось, что Нелли, будучи аспиранткой, присутствовала на одном из первых докладов Никиты Введенской о силе выбора из двух на конференции в Израиле в 1996 году. Когда Никита Дмитриевна объяснила решение, оно оказалось таким красивым и простым, что создавалось впечатление, что каждый мог догадаться! В перерыве Никита Дмитриевна сказала: «На самом деле это так просто, что можно объяснять студентам!» Это был блестящий пример математической работы – красивой и полезной!

Спустя почти 20 лет, на конференции в Стамбуле в 2015 году, пленарный доклад делала Кавита Раманан из университета Брауна в США. Кавита – блестящий математик с огромным количеством фундаментальных работ и профессиональных наград. На одном из первых слайдов она сослалась на работу Введенской, Добрушина и Карпелевича. Доклад Кавиты тоже был о методе выбора из двух. Но на данный момент эти исследования уже перешли на иной уровень обобщения и абстракции. Кавита занимается очень сложными асимптотическими процессами, ее доклад выходит за рамки нашей книги. Проблема развивается и ставит перед математиками новые задачи, еще красивее, еще сложнее и, кто знает, возможно, еще полезнее.

Приложение для подготовленного читателя к главе 5

Глава 6

Секретные числа

Массовый обмен шифровками

Классическая музыка по радио прервалась, и голос диктора стал зачитывать цифры, которые Штирлиц быстро записывал в аккуратные колонки. Диктор называл цифры привычно сухо и четко. «Для него эти цифры всего лишь цифры», – подумал Штирлиц. Когда сообщение закончилось, Штирлиц взял с полки томик Шиллера, открыл на нужной странице и начал превращать цифры в слова. «Центр – Юстасу…»

Сообщение передавалось по открытому радиоканалу, но прочитать его мог только Штирлиц, потому что только он знал, как расшифровать переданные цифры. Шифрование – это не что иное, как сокрытие информации от посторонних.

Шифрование в том или ином виде существует много тысячелетий. Однако в середине XX века произошла своего рода революция. Если раньше шифровками пользовались, как правило, представители государственных спецслужб (или, если угодно, сами спецслужбы и даже государства), то к 70-м годам XX века стало ясно, что совсем скоро шифрование понадобится самым обычным людям, причем не изредка, а буквально каждый день. Это связано с лавинообразным развитием технологий, плоды которых доступны каждому: компьютеры, сотовые телефоны и тому подобное.

Каждый раз, когда вы вводите свой пароль или номер кредитной карты на сайте, вы отправляете личную конфиденциальную информацию по открытым каналам интернета. У многих к этим каналам есть доступ, например у вашего интернет-провайдера. В принципе перехватить ваше сообщение может даже компьютерщик-любитель с обычным ноутбуком и подходящим для этой цели программным обеспечением. Конфиденциальность информации обеспечивается именно тем, что она передается в виде шифровки. Вы можете легко узнать сайты, на которых действует протокол безопасной передачи данных: в этом случае веб-адрес начинается с https://… HTTP – обычный протокол передачи данных по интернету. А дополнительная буква S происходит от английского слова secure (безопасный) и означает, что данные будут передаваться в зашифрованном виде.

Каким образом зашифровывается и расшифровывается ежедневный гигантский поток конфиденциальной информации? Естественно, математика, как всегда, опережала технологии и стояла у их истока. Задачами шифрования занимается криптография – очень активная и интересная область математики и информатики[13].

Ключ к шифру

В зашифрованном сообщении каждая буква заменяется какой-либо другой буквой, числом или знаком. Например, возьмем самый простой шифр. Будем зашифровывать каждую букву следующей буквой алфавита. Вместо А напишем Б, вместо Б – В и так далее, а вместо Я – А. Например, слово ПРИВЕТ будет выглядеть так:

РСЙГЁУ

Это очень простой шифр, потому что каждая буква всегда зашифровывается одной и той же буквой, и взломать его – пара пустяков. Достаточно угадать одно слово в сообщении. Например, мы догадались, что сообщение начинается со слова «привет», и вот в нашем распоряжении уже шифры для шести букв: П, Р, И, В, Е и Т. С их помощью мы можем угадать другие слова, пока наконец не расшифруем весь алфавит. Именно так расшифровал секретные послания Шерлок Холмс в рассказе «Пляшущие человечки».