Читать книгу "Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер"

Счет — это не искусство. Художник Роман Опалка придерживался такого же мнения — хотя он смог с выгодой продавать свои «детали» именно как живописные произведения. На аукционе «Кристи» три его «детали» были проданы за 1 285 366 долларов. Опалка видит в своих «деталях» нечто большее, нежели искусство, он видит в них документы своей жизни: «Смысл моей жизни заключается в отсутствии смысла, в нанесении рядов логических символов без определенной цели на пути к самому себе».

Когда Опалка приблизился к числу 4 000 000, он пригласил в свою студию в южнофранцузском городке Базерак телевизионную съемочную группу, которая сняла его за монашескими трудами. Надо сказать, что Опалку очаровывали не круглые числа, а те, которые состояли из одинаковых цифр. В особенный трепет его приводили те числа, у которых разрядность числа совпадала с цифрой, составлявшей данное число. Например, после единицы это были числа 22, 333, 4444. Эти числа уместились на первой «детали». За 4444 следовало число 55555, но оно появилось лишь на одной из более поздних «деталей». Прежде чем Опалка добрался до числа 666666, прошло много лет. Как ни странно, но Опалка надеялся до смерти успеть написать число 7777777. Было ясно, что число 88888888 написать он при жизни не успеет. Если бы он начал писать числа раньше, то, вероятно, успел бы написать число 7777777. Опалке было горько сознавать, что первые тридцать четыре года его жизни были потрачены без всякого смысла, и эта мысль в самом начале проекта вызвала болезнь, из-за которой художник даже оказался в больнице. Петер Лодермайер спросил художника: «Когда же вы приступили к работе над своим проектом — когда нарисовали единицу или в тот момент в Варшаве, когда ждали в кафе свою жену? И когда вам в голову пришла идея проекта?» — и Опалка ответил: «Честно говоря, любовь началась тогда, в кафе, но осуществилась она лишь через семь месяцев. Осуществлением любви стала единица. Я рассказывал об этом уже в Амстердаме: я мог бы умереть в тот момент, когда меня охватили истинные эмоции, потому что я уже тогда знал все, что начиналось лишь как довольно смутная концепция. Я знал, я чувствовал, что это станет делом всей моей жизни. Когда пишешь такое малое число, как единица, испытываешь эмоцию, которую просто невозможно себе представить. Через пару недель у меня начались проблемы с сердцем, потому что напряжение от работы было страшно велико. Дело не в том, что работа была невероятно хороша, а в той жертве, которую я должен был приносить работе всю оставшуюся жизнь. В этом и заключалась вся проблема. Я целый месяц пролежал в больнице с аритмией, и это было страшно, я испытывал неподдельный страх. Через месяц я вернулся домой и продолжил работу, и продолжаю ее до сего дня. Искусство нуждается в разуме, но его не обязательно должно быть больше, чем эмоций, телесного напряжения и духовных исканий. Об этом очень верно сказал Леонардо да Винчи: “L’arte e una cosa mentale!” — “Искусство — порождение ума!” Это фантастично. В этой фразе заключен целый мир».

Роман Опалка умер 6 августа 2011 г. До смерти он успел исписать числами 233 «детали». Всего чисел было больше пяти с половиной миллионов.

Квадраты и кубы чисел

Считать можно быстрее, если называть только четные числа 2, 4, 6, 8, 10, … и пропускать нечетные. Человечеству потребовалось долгое время на то, чтобы научиться считать парами. Другие связки чисел — тройки, четверки и так далее — пока не использовались. Это предположение подтверждается лингвистическими данными. Когда мы говорим о числах, которые без остатка делятся на два, мы называем их «четными», но у нас нет такого же наименования для чисел, которые без остатка делятся на три, и в то время как число, которое при делении на два дает остаток, равный единице, мы называем «нечетным», у нас нет особого наименования для чисел, которые при делении на три давали бы остаток, равный единице или двум.

Если счет двойками даже маленькие дети усваивают с быстротой молнии, то им с намного большим трудом дается счет числами, которые делятся на три, четыре и большие числа. Однако для того, чтобы усвоить малую таблицу умножения, они должны наизусть выучить «последовательность троек» 3, 6, 9, 12, 15, …, «последовательность» четверок 4, 8, 12, 16, 20, … и все другие последовательности вплоть до «последовательности девяток» 9, 18, 27, 36, 45, …. Только добравшись до «последовательности десяток» 10, 20, 30, 40, 50, …, мы испытываем чувство облегчения, ибо счет десятками так же прост, как и счет единицами.

При счете связками равной величины, когда, например, считают дюжинами или — в настоящее время эта мера счета практически вышла из употребления — копа́ми, связками по 60 единиц, при одинаковых затратах времени достигают больших величин, чем при счете единицами. Конечно, такой способ счета неприменим, когда речь идет о числах иных порядков.

Использование счета связками или пакетами чисел тем не менее научило людей древних высоких культур такому арифметическому действию, как умножение, а также геометрическому образу того, что, собственно, оно означает. Если, например, взять пакет из шести элементов, шестерку, и поставить в ряд шесть жирных точек, а потом расположить семь таких рядов, которые можно назвать строчками, друг над другом, то мы получим наглядное представление числа 42 в виде «прямоугольного числа», результата умножения 7 × 6. Глуп тот, кто будет считать точки этого прямоугольника ряд за рядом, пока не дойдет до числа 42. Такой счет совершенно не нужен, потому что умножение сразу дает искомый результат 7 × 6.

Используя умножение, люди стали получать числа, большие тех, которые получали простым счетом. Правда, это касалось не всех чисел, например, нет такого простого числа, которое можно было бы получить умножением двух меньших чисел. К этому вопросу мы вернемся позже. Однако, когда, например, Платон требует, чтобы в его идеальном городе жили 5040 граждан, ему не надо было пересчитывать их поодиночке. Достаточно было построить прямоугольник. В ряд надо поставить 60 граждан, а затем построить колонну из 84 таких рядов. Итого, умножив 60 на 84, получим 5040 человек.

Платон поступил бы не так умно, если бы построил всех граждан в две шеренги. Тогда ему пришлось бы считать до 2520. Таким образом, чем ближе прямоугольник по форме к квадрату, тем эффектнее замещает изящное умножение тупой счет.

Если точки, символизирующие какое-либо число, можно расположить в виде квадрата, то такое число называют квадратом какого-то другого числа. Первые квадраты выглядят так:

1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 5 × 5 = 25…

Последовательность квадратов 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … растет быстро. Примечательно то, что последовательность разностей последующих и предыдущих квадратов, начиная с трех, состоит из последовательности нечетных чисел.

4 — 1 = 3, 9 — 4 = 5, 16 — 9 = 7, 25 — 16 = 9, 36 — 25 = 11…

Если умножить не два, а три числа, то получается связка связок, например, при умножении 3 × 4 × 5. 4 × 5 есть прямоугольное число, составленное из четырех написанных друг над другом строчек, каждая из которых состоит из пяти точек. Число же 3 × 4 × 5 соответствует трем таким прямоугольникам, уложенным друг на друга. Такая фигура соответствует прямоугольному параллелепипеду, состоящему из 60 точек. Древние счетоводы наверняка были поражены тем фактом, что такое сравнительно большое число, как 60, можно получить всего из трех цифр. Самое большое число, которое можно получить, перемножив три однозначных числа, — это 9 × 9 × 9 = 729. В сравнении с 9 это число просто чудовищно велико.