Читать книгу "Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы - Майкл Шермер"

ПОЧЕМУ ЭТИ ПРИЕМЫ РАБОТАЮТ

Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любителей математики и всех, кому любопытно, почему этот метод работает. Некоторые найдут теоретическую сторону вопроса не менее интересной, чем практическая. К счастью, вам не нужно разбираться в том, почему метод работает, для того чтобы научиться его применять. Всем магическим трюкам есть рациональное объяснение. И математические не исключение. И вот прямо сейчас маг от математики раскроет свои самые сокровенные тайны!

В этой главе, посвященной задачам на умножение, мы применили дистрибутивный (распределительный) закон, который позволял нам разбивать задачи на части. Данный закон гласит, что для любых чисел a, b и c

(b + с) х а = (b х а) + (с х а)

То есть число за скобками распределяется и по отдельности умножается на каждое из чисел в скобках. Например, в первой задаче на умножение 42 х 7 мы добрались до итогового ответа с помощью представления 42 в виде 40 + 2, а затем помножили на 7 каждое из них следующим образом:

42 х 7 = (40 + 2) х 7 = (40 х 7) + (2 х 7) = 280 + 14 = 294

Вы можете спросить, почему распределительный закон в принципе работает. Чтобы понять его интуитивно, представьте, что у вас есть 7 сумок, в каждой по 42 монеты, 40 из которых золотые, а 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Существует два способа получить ответ. С одной стороны, исходя из определения умножения, скажем, что у вас есть 42 х 7 монет. С другой — всего 40 х 7 золотых и 2 х 7 серебряных монет.

Следовательно, всего имеем (40 х 7) + (2 х 7) монет. Отвечая на наш вопрос двумя способами, получим 42 х 7 = (40 х 7) + (2 х 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми другими (a, b или c), сохранив общий логический принцип. Вот почему распределительный метод работает!

Используя подобную аргументацию о золотых, серебряных и медных монетах, получим более общий закон.

(b + с + d) х а = (b х а) + (с х а) + (d х а)

Следовательно, чтобы умножить 326 х 7, разбиваем 326 как 300 + 20 + 6. Потом умножаем на 7 следующим образом: 326 х 7 = (300 + 20 + 6) х 7 = (300 х 7) + (20 х 7) + (6 х 7), а затем складываем отдельные произведения.

Что касается возведения в квадрат, представленный ниже алгебраический закон оправдывает мой метод. (A и d — любые числа.)

Глава 3

Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня

Магия чисел действительно захватывает, когда выступаешь перед аудиторией. Мой первый опыт публичных выступлений пришелся на восьмой класс, в уже довольно «преклонном возрасте» тринадцати лет. Многие матемаги начинали еще раньше. Например, Зера Колберн (1804–1839) мог производить молниеносные расчеты еще до того, как научился читать и писать, и начал развлекать зрителей в возрасте шести лет! Когда мне было тринадцать, моя учительница алгебры записала на доске задачу, где следовало вычислить 1082. Я быстро выпалил: «108 в квадрате будет 11 664!»

Учительница сделала расчет на доске и получила такой же ответ. Глядя немного испуганно, она произнесла: «Да, верно. Как ты это сделал?» Тут я ей и выложил: «Я округлил 108 до 100 и увеличил 108 до 116. После перемножил 116 на 100, получил 11 600, а потом просто прибавил квадрат 8, в итоге получилось 11 664».

Она никогда раньше не сталкивалась с таким методом.

Я был взволнован. Даже успел самонадеянно подумать о «теореме Бенджамина». Я на самом деле верил в то, что открыл нечто новое. Когда я в конце концов наткнулся на этот метод спустя несколько лет в книге Мартина Гарднера по занимательной математике Mathematical Carnival («Математический карнавал», 1965), мой день был испорчен! Хотя то, что я сам нашел его, все же воодушевляло.

Вы тоже можете произвести впечатление на друзей (или учителей), используя некоторые из довольно удивительных примеров на умножение. В конце предыдущей главы вы узнали, как умножить двузначное число само на себя. В этой главе вы научитесь перемножать два разных двузначных числа, а затем попробуете приложить руку (вернее, мозг) к возведению трехзначных чисел в квадрат. При этом для решения таких задач не обязательно знать, как умножить два двузначных числа. Так что можете начать осваивать любой из этих навыков в любом порядке.

ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2»

При возведении в квадрат двузначного числа всегда применяется одинаковый метод. Но перемножать двузначные числа можно разными способами, которые в итоге приведут вас к одному и тому же ответу. Лично для меня здесь и начинается самое интересное.

Первый метод, назовем его «метод сложения», можно применять для решения любых задач на умножение типа «2 на 2».

Метод сложения

В методе сложения при перемножении двух двузначных чисел надо всего лишь решить две задачи на умножение типа «2 на 1» и суммировать результаты, например:

Итак, 42 разбиваем на 40 и 2, после чего умножаем 40 х 46 (а это всего лишь 4 х 46 с добавочным нулем, то есть 1840); затем 2 х 46 = 92. Наконец складываем 1840 + 92 = 1932, как и показано выше.

Вот еще один способ решения той же задачи:

Но здесь есть небольшая проблема, которая заключается в том, что умножить 6 х 42 сложнее, чем 2 х 46, как в первом способе. Более того, прибавить 1680 + 252 сложнее, чем суммировать 1840 + 92. Так как же решить, какое из чисел разбивать на части? Я стараюсь выбирать то, которое приведет к более простой задаче на сложение. В большинстве случаев, но не всегда, желательно разбивать число с наименьшей цифрой в конце, потому что это обычно приводит к меньшим числам при сложении.

Попробуйте свои силы на следующих примерах.

В последнем примере показано, почему числа с 1 в конце лучше всего представлять в виде суммы. В случае если оба числа оканчиваются на одинаковую цифру, следует делить на части большее число, как показано ниже.