Читать книгу "Игра случая. Математика и мифология совпадения - Джозеф Мазур"

е) Вы случайно встречаете собственного брата на Бора-Бора.

ж) Находясь за границей, вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец» с вашей подписью на титульном листе.

з) Вы получаете новый паспорт, номер которого совпадает с номером вашего социального страхования.

и) Вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец», который был у вас во время учебы в школе, на скамье в парке (да, событие очень похоже на события «ж»).

к) Вы берете такси в Чикаго и узнаете в водителе человека, который подвозил вас в Нью-Йорке в прошлом году.

Я выбрал эти события произвольно. Некоторые из них являются совпадениями, некоторые – просто отдельные события. Они могли бы быть совершенно самостоятельными событиями, если бы не пресловутая бабочка над Тихим океаном, которая, как видно, влияет на все на свете: от погоды в Париже до результатов скачек «Кентукки Дерби», чем постоянно вызывает непредвиденные волнения. Почему кошка появилась в определенный момент? Таинственный незнакомец мог оказаться тем парнем, которому кошка принесла ваше давно потерянное кольцо.

Вероятность некоторых из этих событий и им подобных узнать чрезвычайно сложно даже приблизительно. Для простоты предположим, что вероятность каждого из событий составляет 0,000001, т. е. меньше, чем вероятность получить с раздачи флеш-рояль при игре в покер. Особых причин для того, чтобы брать именно это число, нет, кроме простого факта – такое событие не невозможно, но слишком уж рассчитывать на него не стоит. Может показаться, что вероятность наступления одного из двух событий в списке составит 2 × 0,000001 = 0,000002, потому что вероятности складываются, когда необходимо вычислить вероятность наступления одного из двух событий. Тогда можно наивно предположить, что, рассматривая только два события из предложенных, мы тем самым удваиваем вероятность. Но мы должны быть внимательны. Расчет игнорирует возможность того, что оба события (например, «ж» и «и» из списка) могут произойти одновременно. Нам необходимо вычесть вероятность такого исхода из суммы двух вероятностей. Если события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей, то есть 0,000001 × 0,000001 = 0,00000000001, относительно небольшое число. Тогда действительная вероятность составит 0,00000199999 – немного меньше, чем ожидалось. Это подводит нас к любопытному вопросу. Ответ на него может заставить по-другому посмотреть на мир совпадений. В мире всевозможных необычайно удивительных событий должны быть тысячи – если не миллионы или миллиарды – событий, которые могут произойти с вами в течение одного года. Давайте предположим, что вероятность каждого из миллиона таких событий будет, скажем, 0,000001. Тогда вопрос в следующем: что произойдет, если мы объединим все эти события и попробуем найти вероятность того, что хотя бы одно из них произойдет в течение года? Нет реального способа определить, насколько независимыми друг от друга будут события числом в миллион. Мы не можем предполагать, что ни у одной из возможных пар событий нет прямой связи. Мы не можем не принимать в расчет возможность того, что одно событие может быть причиной другого или влиять на него или что отдельное событие может зависеть от другого. Например, если вы один раз выиграли в лотерею и потратите часть выигрыша на повторные попытки, это окажет влияние на второй выигрыш, он будет зависеть от первого. Также мы не можем просто сложить вероятности, чтобы получить вероятность того, что произойдет одно событие из миллиона. Это привело бы нас к абсурдным расчетам, из которых следует, что вероятность одного события составит 1 000 000 × 0,000001 = 1, т. е. событие будет достоверным! (Мы бы складывали 0,000001 миллион раз.) Чтобы такие расчеты сработали, события должны быть изолированными, т. е. не иметь ничего общего. Если они имеют что-то общее, то любая серьезная оценка вероятностей становилась бы делом непомерно сложным, если не невозможным. К примеру, нам пришлось бы исключить вероятность того, что черная кошка, которая может пересечь вам путь в следующую среду, также найдет ваше давно потерянное кольцо в водосточной трубе и принесет его таинственному незнакомцу, который попытается продать его на гаражной распродаже. Но даже при выполнении всех этих требований нам все же придется учитывать огромное число пересекающихся возможностей, которые могли бы снизить те или иные шансы. С другой стороны, если бы все из миллиона событий были взаимоисключающими, то математика говорила бы нам, что мы можем быть уверены – одно из них произойдет. Конечно! Любой активный человек может встретиться с миллионом возможных событий. Просто выйдя из дома, человек встречает необозримое число возможностей.

Событие «д» – единственное в нашем списке имеет довольно точно определяемую вероятность, но даже оно зависит от личности победителя. Чтобы выиграть дважды, нужно сначала выиграть в первый раз. Это значит, в первый раз выбрать шесть правильных чисел. Вероятность того, что это произойдет один раз, близка к 0,000000038 – в самом деле, достаточно малое число{36}. Иначе говоря, ваши шансы на выигрыш составляли бы 25 827 164 к 1.

Как это рассчитано? Есть 54 варианта выбора числа. Когда выбрано первое число, оно исключается, т. е. остается 53 возможных варианта для второго числа. Подобным образом для третьего есть 52 варианта, для четвертого – 51, для пятого – 50, для шестого – 49. Поэтому существует 54 × 53 × 52 × 51 × 50 = 18 595 558 800 различных способов выбрать шесть чисел, каждое от 1 до 54. Есть 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 различных способов расположения шести чисел. Поскольку порядок, в котором выбраны числа, значения не имеет, мы делим на 720 и получаем 25 827 165 – число различных возможных вариантов, только один из которых верен.

Вероятность выиграть во второй раз остается такой же; числа в лотерее не обладают способностью к запоминанию, равно как и вероятность. Вероятность, однако, зависит от того, как мы о ней думаем. Если вы забываете о том факте, что выиграли в первый раз, то вероятность не меняется. Ваши шансы составляют 25 827 164 к 1, а вероятность – 0,000000038. Вероятность выиграть во второй раз составляет 0,000000038 × 0,000000038 = 0,000000000000001444, что выглядит очень, очень маловероятно. Мы знаем, что ранее выигравшие числа из следующих лотерей не исключаются и никак на последние не влияют. Однако сам факт выигрыша странным образом такое влияние оказывает, а основано оно на личности победителя. Как преступники возвращаются на место преступления, так победители продолжают играть в лотерею. И делают это, имея полные карманы денег, покупая куда больше билетов, чем раньше. Таким образом, наши расчеты не учитывают всех прочих попыток сыграть в лотерею. Человек мог сыграть 100 раз, прежде чем случился второй выигрыш. В главе 7 (а именно в табл. 7.1) мы найдем шансы на выигрыш в лотерею 4 раза за 4 попытки, что является куда более сложным делом.

Глава 5

Дар Бернулли

Возможен ли математический закон, который откроет нам будущее? После того как пара игральных костей брошена, они «забывают» о том, где и как легли. Если кости «честные» и брошены без жульничества, нельзя заранее сказать, каков будет результат, и все же мы можем быть вполне уверены, что, если бросать кости достаточно долго, 7 будет появляться намного чаще, чем любое другое число. Дело в геометрии игральных костей и простых арифметических правилах: существует больше пар чисел от 1 до 6, в сумме дающих 7, чем любых других пар, которые можно получить в результате броска двух игральных костей.